Rozdielová rovnica vs. diferenciálna rovnica
Prírodný jav možno matematicky opísať funkciami množstva nezávislých premenných a parametrov. Najmä ak sú vyjadrené funkciou priestorovej polohy a času, výsledkom sú rovnice. Funkcia sa môže meniť so zmenou nezávislých premenných alebo parametrov. Nekonečne malá zmena, ktorá nastáva vo funkcii, keď sa zmení jedna z jej premenných, sa nazýva derivácia tejto funkcie.
Diferenciálna rovnica je akákoľvek rovnica, ktorá obsahuje derivácie funkcie, ako aj funkcie samotnú. Jednoduchá diferenciálna rovnica je rovnica Newtonovho druhého pohybového zákona. Ak sa objekt s hmotnosťou m pohybuje so zrýchlením „a“a pôsobí naň silou F, potom nám druhý Newtonov zákon hovorí, že F=ma. Aj tu sa „a“mení s časom, môžeme prepísať „a“ako; a=dv/dt; v je rýchlosť. Rýchlosť je funkciou priestoru a času, teda v=ds/dt; preto ‘a’=d2s/dt2
Zapamätajúc si tieto skutočnosti môžeme prepísať druhý Newtonov zákon ako diferenciálnu rovnicu;
„F“ako funkcia v a t – F(v, t)=mdv/dt alebo
'F' ako funkcia s a t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Existujú dva typy diferenciálnych rovníc; obyčajná diferenciálna rovnica, skrátene ODR alebo parciálna diferenciálna rovnica, skrátene PDE. Obyčajná diferenciálna rovnica bude mať obyčajné derivácie (deriváty iba jednej premennej). Parciálna diferenciálna rovnica bude mať v sebe diferenciálne derivácie (deriváty viac ako jednej premennej).
napr. F=m d2s/dt2 je ODR, zatiaľ čo α2 d 2u/dx2=du/dt je PDE, má deriváty t a x.
Diferenčná rovnica je rovnaká ako diferenciálna rovnica, ale pozeráme sa na ňu v inom kontexte. V diferenciálnych rovniciach sa nezávislá premenná, ako je čas, uvažuje v kontexte systému spojitého času. V systéme diskrétneho času nazývame funkciu ako diferenčná rovnica.
Rozdielová rovnica je funkciou rozdielov. Rozdiely v nezávislých premenných sú tri typy; postupnosť čísel, diskrétny dynamický systém a iterovaná funkcia.
V sekvencii čísel sa zmena generuje rekurzívne pomocou pravidla, ktoré spája každé číslo v sekvencii s predchádzajúcimi číslami v sekvencii.
Rozdielová rovnica v diskrétnom dynamickom systéme odoberá určitý diskrétny vstupný signál a vytvára výstupný signál.
Diferenčná rovnica je iterovaná mapa pre iterovanú funkciu. Napr. y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….je postupnosť iterovanej funkcie. f(y0) je prvá iterácia y0 K-tá iterácia bude označená fk (y0).
