Rozdiel medzi lineárnou rovnicou a kvadratickou rovnicou

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 13:49

Lineárna rovnica verzus kvadratická rovnica

V matematike sú algebraické rovnice rovnice, ktoré sa tvoria pomocou polynómov. Keď sú rovnice explicitne napísané, budú v tvare P(x)=0, kde x je vektor n neznámych premenných a P je polynóm. Napríklad P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 je explicitne napísaná algebraická rovnica dvoch premenných. Tiež (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ je algebraická rovnica, ale v implicitnej forme. Bude mať tvar Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, raz explicitne napísané.}

Dôležitou charakteristikou algebraickej rovnice je jej stupeň. Je definovaná ako najvyššia mocnina výrazov vyskytujúcich sa v rovnici. Ak sa člen skladá z dvoch alebo viacerých premenných, súčet exponentov každej premennej sa bude považovať za mocninu člena. Všimnite si, že podľa tejto definície P(x, y)=0 je stupňa 4, zatiaľ čo Q(x, y, z)=0 je stupňa 5.

Lineárne rovnice a kvadratické rovnice sú dva rôzne typy algebraických rovníc. Stupeň rovnice je faktor, ktorý ich odlišuje od ostatných algebraických rovníc.

Čo je lineárna rovnica?

Lineárna rovnica je algebraická rovnica stupňa 1. Napríklad 4x + 5=0 je lineárna rovnica jednej premennej. x + y + 5z=0 a 4x=3w + 5y + 7z sú lineárne rovnice 3 a 4 premenných. Vo všeobecnosti bude mať lineárna rovnica n premenných tvar m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Tu sú x_i neznáme premenné, m_i a b sú reálne čísla, kde každá z m_i je nenulové.

Takáto rovnica predstavuje hyperrovinu v n-rozmernom euklidovskom priestore. Konkrétne, lineárna rovnica s dvoma premennými predstavuje priamu čiaru v karteziánskej rovine a lineárna rovnica s tromi premennými predstavuje rovinu v euklidovskom trojpriestore.

Čo je to kvadratická rovnica?

Kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa. x² + 3x + 2=0 je kvadratická rovnica s jednou premennou. x² + y² + 3x=4 a 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 sú príklady kvadratických rovníc s 2 a 3 premennými.}

V prípade jednej premennej je všeobecný tvar kvadratickej rovnice ax² + bx + c=0. Kde a, b, c sú reálne čísla, z ktorých 'a' je nenulové. Diskriminant ∆=(b^{2 – 4ac) určuje povahu koreňov kvadratickej rovnice. Korene rovnice budú skutočne odlišné, skutočne podobné a zložité podľa toho, ako ∆ je kladné, nulové a záporné. Korene rovnice možno ľahko nájsť pomocou vzorca x=(- b ± √∆) / 2a.}

V prípade dvoch premenných by všeobecný tvar bol ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, čo predstavuje kužeľosečku (parabolu, hyperbolu alebo elipsu) v karteziánskej rovine. Vo vyšších dimenziách tento typ rovníc predstavuje hyper-plochy známe ako kvadriky.}

Aký je rozdiel medzi lineárnymi a kvadratickými rovnicami?

• Lineárna rovnica je algebraická rovnica 1. stupňa, zatiaľ čo kvadratická rovnica je algebraická rovnica 2. stupňa.

• V n-rozmernom euklidovskom priestore je priestorom riešenia n-premennej lineárnej rovnice hyperrovina, zatiaľ čo priestorom n-premennej kvadratickej rovnice je kvadrická plocha.