Lineárna rovnica verzus nelineárna rovnica
V matematike sú algebraické rovnice rovnice, ktoré sa tvoria pomocou polynómov. Keď sú rovnice explicitne napísané, budú v tvare P(x)=0, kde x je vektor n neznámych premenných a P je polynóm. Napríklad P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 je algebraická rovnica v dvoch premenných napísaná explicitne. Tiež (x+y)3 =3x2y – 3zy4 je algebraická rovnica, ale v implicitnej forme a bude mať tvar Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, raz explicitne napísané.
Dôležitou charakteristikou algebraickej rovnice je jej stupeň. Je definovaná ako najvyššia mocnina výrazov vyskytujúcich sa v rovnici. Ak sa člen skladá z dvoch alebo viacerých premenných, súčet exponentov každej premennej sa bude považovať za mocninu člena. Všimnite si, že podľa tejto definície P(x, y)=0 je stupňa 5, kým Q(x, y, z)=0 je stupňa 5.
Lineárne rovnice a nelineárne rovnice sú dvojdielne definované na množine algebraických rovníc. Stupeň rovnice je faktor, ktorý ich od seba odlišuje.
Čo je lineárna rovnica?
Lineárna rovnica je algebraická rovnica stupňa 1. Napríklad 4x + 5=0 je lineárna rovnica jednej premennej. x + y + 5z=0 a 4x=3w + 5y + 7z sú lineárne rovnice 3 a 4 premenných. Vo všeobecnosti bude mať lineárna rovnica n premenných tvar m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Tu sú xi neznáme premenné, mi a b sú reálne čísla, kde každá z mi je nenulové.
Takáto rovnica predstavuje hyperrovinu v n-rozmernom euklidovskom priestore. Konkrétne, lineárna rovnica s dvoma premennými predstavuje priamu čiaru v karteziánskej rovine a lineárna rovnica s tromi premennými predstavuje rovinu v euklidovskom trojpriestore.
Čo je to nelineárna rovnica?
Kvadratická rovnica je algebraická rovnica, ktorá nie je lineárna. Inými slovami, nelineárna rovnica je algebraická rovnica stupňa 2 alebo vyššie. x2 + 3x + 2=0 je nelineárna rovnica s jednou premennou. x2 + y3+ 3xy=4 a 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 sú príklady nelineárnych rovníc s 3 a 4 premennými.
Nelineárna rovnica druhého stupňa sa nazýva kvadratická rovnica. Ak je stupeň 3, potom sa nazýva kubická rovnica. Rovnice 4. a 5. stupňa sa nazývajú kvartické a kvintické rovnice. Bolo dokázané, že neexistuje analytická metóda na riešenie akejkoľvek nelineárnej rovnice 5. stupňa, a to platí aj pre akýkoľvek vyšší stupeň. Riešiteľné nelineárne rovnice predstavujú hyperplochy, ktoré nie sú hyperrovinami.
Aký je rozdiel medzi lineárnou rovnicou a nelineárnou rovnicou?
• Lineárna rovnica je algebraická rovnica stupňa 1, ale nelineárna rovnica je algebraická rovnica stupňa 2 alebo vyššie.
• Aj keď je každá lineárna rovnica analyticky riešiteľná, nie je to tak v prípade nelineárnych rovníc.
• V n-rozmernom euklidovskom priestore je priestorom riešenia n-premennej lineárnej rovnice hyperrovina, kým priestorom n-premennej nelineárnej rovnice je hyperplocha, ktorá nie je hyperrovinou. (štvorkolky, kubické plochy atď.)
