Rozdiel medzi integráciou a súčtom

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 13:49

Integrácia vs súhrn

Vo vyššie uvedenej stredoškolskej matematike sa integrácia a sčítanie často vyskytujú v matematických operáciách. Zdanlivo sa používajú ako rôzne nástroje a v rôznych situáciách, no zdieľajú veľmi blízky vzťah.

Viac o Summation

Súčet je operácia sčítania postupnosti čísel a operácia sa často označuje veľkým gréckym písmenom sigma Σ. Používa sa na skrátenie súčtu a rovná sa súčtu/súčtu postupnosti. Často sa používajú na reprezentáciu série, čo sú v podstate nekonečné sekvencie zhrnuté. Môžu sa použiť aj na označenie súčtu vektorov, matíc alebo polynómov.

Súčtovanie sa zvyčajne vykonáva pre rozsah hodnôt, ktoré môžu byť vyjadrené všeobecným pojmom, ako je napríklad rad, ktorý má spoločný pojem. Počiatočný bod a koncový bod súčtu sú známe ako dolná hranica a horná hranica súčtu.

Napríklad súčet postupnosti a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n je a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, ktoré možno jednoducho znázorniť pomocou súčtového zápisu ako ∑ _i=1 a_{i; i sa nazýva index súčtu.}

Na súčet na základe aplikácie sa používa veľa variácií. V niektorých prípadoch môže byť horná hranica a spodná hranica uvedená ako interval alebo rozsah, ako napríklad ∑_1≤i≤100 a_i a ∑_{i∈[1, 100]} a_i Alebo ho možno zadať ako množinu čísel ako ∑_i∈P a_{i, kde P je definovaná množina.}

V niektorých prípadoch možno použiť dva alebo viac znakov sigma, ale možno ich zovšeobecniť nasledovne; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Súčet sa tiež riadi mnohými algebraickými pravidlami. Keďže vložená operácia je sčítanie, mnohé zo spoločných pravidiel algebry možno použiť na samotné súčty a na jednotlivé výrazy zobrazené súčtom.

Viac o integrácii

Integrácia je definovaná ako opačný proces diferenciácie. Ale v geometrickom pohľade ju možno považovať aj za oblasť ohraničenú krivkou funkcie a osou. Výpočet plochy preto dáva hodnotu určitého integrálu, ako je znázornené na diagrame.

Zdroj obrázka:

Hodnota určitého integrálu je v skutočnosti súčtom malých pásikov vo vnútri krivky a osi. Plocha každého pásu je výška x šírka v bode na uvažovanej osi. Šírka je hodnota, ktorú si môžeme zvoliť, povedzme ∆x. A výška je približne hodnota funkcie v uvažovanom bode, povedzme f (x_{i). Z diagramu je zrejmé, že čím menšie sú pásiky, tým lepšie sú pásy vo vnútri ohraničenej oblasti, a teda lepšia aproximácia hodnoty.}

Vo všeobecnosti teda určitý integrál I medzi bodmi a a b (t. j. v intervale [a, b], kde a<b) možno zadať ako I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, kde n je počet prúžkov (n=(b-a)/Ax). Tento súčet oblasti možno ľahko znázorniť pomocou súčtového zápisu ako I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Keďže aproximácia je lepšia, keď je ∆x menšie, môžeme vypočítať hodnotu, keď ∆x→0. Preto je rozumné povedať I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Ako zovšeobecnenie vyššie uvedeného konceptu môžeme zvoliť ∆x na základe uvažovaného intervalu indexovaného pomocou i (výber šírky oblasti na základe polohy). Potom dostaneme

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Toto je známe ako Reimannov integrál funkcie f (x) v intervale [a, b]. V tomto prípade sú a a b známe ako horná hranica a dolná hranica integrálu. Reimannov integrál je základnou formou všetkých integračných metód.

Integrácia je v podstate súčet plochy, keď je šírka obdĺžnika nekonečne malá.

Aký je rozdiel medzi integráciou a sumáciou?

• Sumácia je sčítanie postupnosti čísel. Zvyčajne sa súčet uvádza v tomto tvare ∑_i=1 a_{i, keď sú výrazy v poradí majú vzor a možno ich vyjadriť pomocou všeobecného výrazu.}

• Integrácia je v podstate oblasť ohraničená krivkou funkcie, osou a hornou a dolnou hranicou. Táto oblasť môže byť uvedená ako súčet oveľa menších oblastí zahrnutých do ohraničenej oblasti.

• Sumácia zahŕňa diskrétne hodnoty s hornou a dolnou hranicou, zatiaľ čo integrácia zahŕňa spojité hodnoty.

• Integráciu možno interpretovať ako špeciálnu formu súčtu.

• V metódach numerických výpočtov sa integrácia vždy vykonáva ako súčet.