Rozdiel medzi binomickým a normálnym rozdelením

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 13:49

Binomické vs. normálne rozdelenie

Rozdelenie pravdepodobnosti náhodných premenných hrá dôležitú úlohu v oblasti štatistiky. Z týchto rozdelení pravdepodobnosti sú binomické rozdelenie a normálne rozdelenie dve z najbežnejšie sa vyskytujúcich distribúcií v reálnom živote.

Čo je binomické rozdelenie?

Binomické rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti zodpovedajúce náhodnej premennej X, čo je počet úspešnosti konečnej postupnosti nezávislých experimentov áno/nie, z ktorých každý má pravdepodobnosť úspechu p. Z definície X je zrejmé, že ide o diskrétnu náhodnú premennú; preto je aj binomické rozdelenie diskrétne.

Rozdelenie je označené ako X ~ B (n, p), kde n je počet experimentov a p je pravdepodobnosť úspechu. Podľa teórie pravdepodobnosti môžeme odvodiť, že B (n, p) sleduje funkciu hmotnosti pravdepodobnosti [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Z tejto rovnice možno ďalej odvodiť, že očakávaná hodnota X, E(X)=np a rozptyl X, V(X)=np (1- p).

Zvážte napríklad náhodný experiment hádzania mince trikrát. Definujte úspech ako získanie H, neúspech ako získanie T a náhodnú premennú X ako počet úspechov v experimente. Potom X ~ B (3, 0,5) a funkcia hmotnosti pravdepodobnosti X daná pomocou [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Preto pravdepodobnosť získania aspoň 2 H je P(X ≥ 2)=P (X=2 alebo X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Čo je normálne rozdelenie?

Normálne rozdelenie je spojité rozdelenie pravdepodobnosti definované funkciou hustoty pravdepodobnosti, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Parametre [latex] \mu a \\sigma [/latex] označujú priemer a štandardnú odchýlku sledovanej populácie. Keď [latex] \mu=0 a \\sigma=1 [/latex], rozdelenie sa nazýva štandardné normálne rozdelenie.

Toto rozdelenie sa nazýva normálne, pretože väčšina prírodných javov sleduje normálne rozdelenie. Napríklad IQ ľudskej populácie je normálne rozdelené. Ako je vidieť z grafu, je unimodálne, symetrické okolo priemeru a zvonovitého tvaru. Priemer, modus a medián sa zhodujú. Oblasť pod krivkou zodpovedá časti populácie, ktorá spĺňa danú podmienku.

Časti populácie v intervale [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] sú približne 68,2 %, 95,6 % a 99,8 % respektíve.

Aký je rozdiel medzi binomickým a normálnym rozdelením?

• Binomické rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, zatiaľ čo normálne rozdelenie je spojité.
• Funkcia hmotnosti pravdepodobnosti binomického rozdelenia je [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], pričom funkcia hustoty pravdepodobnosti normálneho rozdelenia je [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Binomické rozdelenie je za určitých podmienok aproximované normálnemu rozdeleniu, ale nie naopak.