Hyperbola vs Elipsa
Keď je kužeľ vyrezaný pod rôznymi uhlami, na hrane kužeľa sú vyznačené rôzne krivky. Tieto krivky sa často nazývajú kužeľosečky. Presnejšie povedané, kužeľosečka je krivka získaná pretínaním pravej kruhovej kužeľovej plochy s rovinnou plochou. V rôznych uhloch priesečníka sú dané rôzne kužeľosečky.
Hyperbola aj elipsa sú kužeľosečky a ich rozdiely sa v tomto kontexte dajú ľahko porovnať.
Viac o Ellipse
Keď priesečník kužeľovej plochy a rovinnej plochy vytvára uzavretú krivku, nazýva sa to elipsa. Má excentricitu medzi nulou a jednotkou (0<e<1). Môže byť tiež definovaný ako miesto množiny bodov v rovine tak, že súčet vzdialeností k bodu z dvoch pevných bodov zostáva konštantný. Tieto dva pevné body sú známe ako „ohniská“. (Pamätajte, že na hodinách základnej matematiky sa elipsy kreslia pomocou šnúrky priviazanej k dvom pevným špendlíkom alebo slučky šnúrky a dvoch špendlíkov.)
Úsečka prechádzajúca ohniskami je známa ako hlavná os a os kolmá na hlavnú os a prechádzajúca stredom elipsy je známa ako vedľajšia os. Priemery pozdĺž každej osi sú známe ako priečny priemer a priemer konjugátu. Polovica hlavnej osi je známa ako polo-hlavná os a polovica vedľajšej osi je známa ako polo-vedľajšia os.
Každý bod F1 a F2 sú známe ako ohniská elipsy a dĺžky F1 + PF2 =2a, kde P je ľubovoľný bod na elipse. Excentricita e je definovaná ako pomer medzi vzdialenosťou od ohniska k ľubovoľnému bodu (PF 2) a kolmou vzdialenosťou k ľubovoľnému bodu od smerovej čiary (PD). Rovná sa tiež vzdialenosti medzi dvoma ohniskami a hlavnou polosou: e=PF/PD=f/a
Všeobecná rovnica elipsy, keď sa hlavná polos a vedľajšia os zhodujú s karteziánskymi osami, je daná takto.
x2/a2 + y2/b2=1
Geometria elipsy má mnoho aplikácií, najmä vo fyzike. Obežné dráhy planét v slnečnej sústave sú eliptické so Slnkom ako jedným ohniskom. Reflektory pre antény a akustické zariadenia sú vyrobené v elipsovom tvare, aby sa využila skutočnosť, že akákoľvek emisia z ohniska sa bude zbiehať do druhého ohniska.
Viac o Hyperbole
Hyperbola je tiež kužeľosečka, ale má otvorený koniec. Termín hyperbola sa vzťahuje na dve oddelené krivky znázornené na obrázku. Namiesto toho, aby sa ramená alebo vetvy hyperboly uzavreli ako elipsa, pokračujú do nekonečna.
Body, kde majú dve vetvy medzi sebou najkratšiu vzdialenosť, sa nazývajú vrcholy. Čiara prechádzajúca cez vrcholy sa považuje za hlavnú os alebo priečnu os a je to jedna z hlavných osí hyperboly. Dve ohniská paraboly tiež ležia na hlavnej osi. Stredom čiary medzi dvoma vrcholmi je stred a dĺžka úsečky je hlavná poloos. Kolmica hlavnej poloosi je ďalšou hlavnou osou a dve krivky hyperboly sú symetrické okolo tejto osi. Excentricita paraboly je väčšia ako jedna; e > 1.
Ak sa hlavné osi zhodujú s karteziánskymi osami, všeobecná rovnica hyperboly má tvar:
x2/a2 – y2/b2=1,
kde a je hlavná poloos a b je vzdialenosť od stredu k jednému ohnisku.
Hyperboly s otvorenými koncami smerujúcimi k osi x sú známe ako hyperboly východ-západ. Podobné hyperboly možno získať aj na osi y. Tieto sú známe ako hyperboly na osi y. Rovnica pre takéto hyperboly má tvar
y2/a2 – x2/b2=1
Aký je rozdiel medzi Hyperbolou a Elipsou?
• Elipsy aj hyperbola sú kužeľosečky, ale elipsa je uzavretá krivka, zatiaľ čo hyperbola pozostáva z dvoch otvorených kriviek.
• Elipsa má teda konečný obvod, ale hyperbola má nekonečnú dĺžku.
• Obidve sú symetrické okolo svojej hlavnej a vedľajšej osi, ale poloha smerovej čiary je v každom prípade iná. V elipse leží mimo hlavnej poloosi, zatiaľ čo v hyperbole leží mimo hlavnej poloosi.
• Výstrednosti dvoch kužeľosečiek sú rôzne.
0 <eElipsa < 1
eHyperbola > 0
• Všeobecná rovnica dvoch kriviek vyzerá rovnako, no líšia sa.
• Kolmica hlavnej osi pretína krivku v elipse, ale nie v hyperbole.
(Zdroj obrázkov: Wikipedia)
