Kardinál vs. Ordinálny
V našom každodennom živote môže mať používanie čísel v rôznych situáciách rôzne podoby. Napríklad, keď počítame, aby sme zistili veľkosť zbierky objektov, počítame ich ako jeden, dva, tri atď. Keď chceme niečo spočítať, aby sme získali zmysel pre polohu predmetov, počítame ich ako prvé, druhé, tretie atď. V prvej forme počítania sa hovorí, že čísla sú kardinálne čísla. V druhej forme počítania sa čísla považujú za poradové čísla. V tomto kontexte sú pojmy kardinál a radový úplne vecou lingvistiky; kardinálne a radové sú prídavné mená.
Rozšírenie pojmu na množiny v matematike však odhaľuje oveľa hlbšiu a širšiu perspektívu a nedá sa s ním zaobchádzať jednoducho. V tomto článku sa pokúsime porozumieť základným pojmom kardinálnych a radových čísel v matematike.
Formálne definície kardinálnych a radových čísel sú uvedené v teórii množín. Definície sú zložité a na ich pochopenie v dokonalom zmysle je potrebná znalosť teórie množín. Preto sa obrátime na niekoľko príkladov, aby sme pojmom porozumeli heuristicky.
Zvážte dve sady {1, 3, 6, 4, 5, 2} a {autobus, auto, trajekt, vlak, lietadlo, helikoptéra}. Každá množina obsahuje množinu prvkov a ak spočítame počet prvkov, je zrejmé, že každý má rovnaký počet prvkov, čo je 6. Dospeli sme k tomuto záveru, vzali sme veľkosť jednej množiny a porovnali sme ju s druhou pomocou číslo. Takéto číslo sa nazýva kardinálne číslo. Preto môžeme povedať, že kardinálne číslo je číslo, ktoré môžeme použiť na porovnanie veľkosti konečných množín.
Prvú sadu čísel možno opäť usporiadať vo vzostupnom poradí s ohľadom na veľkosť každého prvku a ich porovnaním. V procese objednávania sa čísla považujú za kardinálov. Podobne množinu všetkých nezáporných celých čísel možno usporiadať do množiny; tj {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Ale v tomto prípade sa veľkosť množiny stáva nekonečnou a nie je možné ju uviesť v ordináliách. Bez ohľadu na to, aké veľké číslo si vyberiete na určenie veľkosti množiny, z množiny, ktorú vyberiete, stále zostanú čísla, ktoré sú nezáporné celé čísla.
Preto matematici definujú tohto nekonečného kardinála (ktorý je prvý) ako Aleph-0, písaný ako א (prvé písmeno v hebrejskej abecede). Formálne je poradové číslo typom objednávky dobre usporiadanej súpravy. Preto môže byť poradové číslo konečných množín dané kardinálnymi číslami, ale pre nekonečné množiny je poradové číslo dané transfinitnými číslami, ako napríklad Aleph-0.
Aký je rozdiel medzi kardinálnymi a radovými číslami?
• Kardinálne číslo je číslo, ktoré možno použiť na počítanie alebo na určenie veľkosti konečnej usporiadanej množiny. Všetky kardinálne čísla sú radové.
• Radové čísla sú čísla používané na určenie veľkosti konečných aj nekonečných usporiadaných množín. Veľkosť konečných usporiadaných množín je daná obvyklými hinduisticko-arabskými algebraickými číslicami a veľkosť nekonečnej množiny je daná transfinitnými číslami.
