Reálne čísla verzus imaginárne čísla
Čísla sú matematické objekty, ktoré sa používajú na počítanie a meranie. Jeho definícia sa v priebehu rokov menila pridaním nuly, záporných čísel, racionálnych čísel, iracionálnych čísel a imaginárnych čísel. Aj keď abstraktný základ číselných systémov súvisí s algebraickými štruktúrami, ako sú skupiny, kruhy a polia, je tu prezentovaná iba intuitívna myšlienka.
Čo je skutočné číslo?
Reálne číslo je neformálne definované číslo, ktorého druhá mocnina nie je záporná. V matematickom zápise množinu reálnych čísel označujeme symbolom R. Preto pre všetky x, ak x ϵ R, potom x 2 ≥ 0. Dôslednejším spôsobom je možné zaviesť množinu reálnych čísel ako jedinečné, úplne usporiadané pole s binárnou operáciou + a. spolu s poradovým vzťahom <. Tento poradový vzťah sa riadi zákonom trichotómie, ktorý hovorí, že pri daných dvoch reálnych číslach x a y platí len jedno z týchto 3; x > y, x < y alebo x=y.
Reálne číslo môže byť algebraické alebo transcendentálne v závislosti od toho, či ide o koreň polynómovej rovnice s celočíselnými koeficientmi alebo nie. Reálne číslo môže byť tiež racionálne alebo iracionálne v závislosti od toho, či môže byť vyjadrené ako pomer dvoch celých čísel alebo nie. Napríklad 2,5 je reálne číslo, ktoré je algebraické a racionálne, ale ᴫ je iracionálne aj transcendentálne.
Súbor reálnych čísel je kompletný. Znamená to, že pre každú neprázdnu podmnožinu reálnych čísel, ktorá je ohraničená vyššie, má najmenšiu hornú hranicu a z toho možno odvodiť, že každá neprázdna podmnožina reálnych čísel, ktorá je ohraničená nižšie, má najväčšiu spodnú hranicu. Tým sa odlišuje množina reálnych čísel od množiny racionálnych čísel. Dá sa tvrdiť, že množina reálnych čísel sa vytvára vyplnením medzier v množine neúplných racionálnych čísel, pričom medzery sú iracionálne čísla.
Čo je imaginárne číslo?
Imaginárne číslo je číslo, ktorého druhá mocnina je záporná. Inými slovami, čísla ako √(-1), √(-100) a √(- e) sú imaginárne čísla. Všetky imaginárne čísla možno zapísať v tvare a i, kde i je „imaginárna jednotka“√(-1) a a je nenulové reálne číslo. (Všimnite si, že i2=-1). Aj keď sa tieto čísla zdajú byť nereálne a ako názov napovedá, že neexistujú, používajú sa v mnohých základných aplikáciách v reálnom svete, v oblastiach ako letectvo, elektronika a strojárstvo.
Aký je rozdiel medzi reálnymi číslami a imaginárnymi číslami?• Druhá mocnina reálneho čísla nie je záporná, ale druhá mocnina imaginárneho čísla je záporná. • Množina reálnych čísel tvorí úplné totálne usporiadané pole, zatiaľ čo množina imaginárnych čísel nie je úplná ani usporiadaná. |
