Fourierova séria verzus Fourierova transformácia
Fourierov rad rozkladá periodickú funkciu na súčet sínusov a kosínusov s rôznymi frekvenciami a amplitúdami. Fourierove rady sú vetvou Fourierovej analýzy a zaviedol ju Joseph Fourier. Fourierova transformácia je matematická operácia, ktorá rozdelí signál na frekvencie, z ktorých sa skladá. Pôvodný signál, ktorý sa časom menil, sa nazýva reprezentácia signálu v časovej oblasti. Fourierova transformácia sa nazýva reprezentácia signálu vo frekvenčnej doméne, pretože závisí od frekvencie. Ako reprezentácia signálu vo frekvenčnej doméne, tak aj proces použitý na transformáciu tohto signálu do frekvenčnej domény sa označujú ako Fourierova transformácia.
Čo je Fourierova séria?
Ako už bolo spomenuté, Fourierov rad je expanzia periodickej funkcie pomocou nekonečného súčtu sínusov a kosínusov. Fourierove rady boli pôvodne vyvinuté pri riešení tepelných rovníc, ale neskôr sa zistilo, že rovnakú techniku možno použiť na riešenie veľkého súboru matematických problémov, najmä problémov, ktoré zahŕňajú lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi. Teraz má séria Fourier aplikácie vo veľkom množstve oblastí vrátane elektrotechniky, analýzy vibrácií, akustiky, optiky, spracovania signálu, spracovania obrazu, kvantovej mechaniky a ekonometrie. Fourierove rady využívajú vzťahy ortogonality sínusových a kosínusových funkcií. Výpočet a štúdium Fourierovho radu je známy ako harmonická analýza a je veľmi užitočný pri práci s ľubovoľnými periodickými funkciami, pretože umožňuje rozdeliť funkciu na jednoduché pojmy, ktoré možno použiť na získanie riešenia pôvodného problému.
Čo je Fourierova transformácia?
Fourierova transformácia definuje vzťah medzi signálom v časovej oblasti a jeho reprezentáciou vo frekvenčnej oblasti. Fourierova transformácia rozkladá funkciu na oscilačné funkcie. Keďže ide o transformáciu, pôvodný signál možno získať poznaním transformácie, takže v procese nevzniká ani nestráca žiadna informácia. Štúdium Fourierových radov v skutočnosti poskytuje motiváciu pre Fourierovu transformáciu. Vďaka vlastnostiam sínusov a kosínusov je možné pomocou integrálu získať späť množstvo, ktoré každá vlna prispieva k súčtu. Fourierova transformácia má niektoré základné vlastnosti, ako je linearita, translácia, modulácia, škálovanie, konjugácia, dualita a konvolúcia. Fourierova transformácia sa používa pri riešení diferenciálnych rovníc, pretože Fourierova transformácia úzko súvisí s Laplaceovou transformáciou. Fourierova transformácia sa používa aj v nukleárnej magnetickej rezonancii (NMR) a v iných druhoch spektroskopie.
Rozdiel medzi Fourierovou sériou a Fourierovou transformáciou
Fourierova séria predstavuje rozšírenie periodického signálu ako lineárnu kombináciu sínusov a kosínusov, zatiaľ čo Fourierova transformácia je proces alebo funkcia používaná na prevod signálov z časovej oblasti do frekvenčnej oblasti. Fourierova séria je definovaná pre periodické signály a Fourierova transformácia môže byť aplikovaná na aperiodické (vyskytujúce sa bez periodicity) signály. Ako je uvedené vyššie, štúdium Fourierových radov v skutočnosti poskytuje motiváciu pre Fourierovu transformáciu.
