Laplaceova vs Fourierova transformácia
Laplaceova aj Fourierova transformácia sú integrálne transformácie, ktoré sa najčastejšie používajú ako matematické metódy na riešenie matematicky modelovaných fyzikálnych systémov. Postup je jednoduchý. Komplexný matematický model sa pomocou integrálnej transformácie prevedie na jednoduchší, riešiteľný model. Po vyriešení jednoduchšieho modelu sa použije inverzná integrálna transformácia, ktorá poskytne riešenie pôvodného modelu.
Napríklad, keďže výsledkom väčšiny fyzikálnych systémov sú diferenciálne rovnice, možno ich previesť na algebraické rovnice alebo v nižšej miere ľahko riešiteľné diferenciálne rovnice pomocou integrálnej transformácie. Potom bude riešenie problému jednoduchšie.
Čo je Laplaceova transformácia?
V prípade funkcie f (t) reálnej premennej t je jej Laplaceova transformácia definovaná integrálom [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (ak existuje), ktorý je funkciou komplexnej premennej s. Zvyčajne sa označuje ako L { f (t)}. Inverzná Laplaceova transformácia funkcie F (s) sa považuje za funkciu f (t) takým spôsobom, že L { f (t)}=F (s) a v bežnom matematickom zápise píšeme L-1{ F (s)}=f (t). Inverzná transformácia môže byť jedinečná, ak nie sú povolené nulové funkcie. Tieto dva možno identifikovať ako lineárne operátory definované vo funkčnom priestore a je tiež ľahké vidieť, že L -1{ L { f (t)}}=f (t), ak nie sú povolené funkcie null.
Nasledujúca tabuľka uvádza Laplaceove transformácie niektorých najbežnejších funkcií.
Čo je Fourierova transformácia?
V prípade funkcie f (t) reálnej premennej t je jej Laplaceova transformácia definovaná integrálom [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (ak existuje) a zvyčajne sa označuje F { f (t)}. Inverzná transformácia F -1{ F (α)} je daná integrálom [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fourierova transformácia je tiež lineárna a možno si ju predstaviť ako operátor definovaný vo funkčnom priestore.
Pomocou Fourierovej transformácie je možné pôvodnú funkciu zapísať nasledovne za predpokladu, že funkcia má len konečný počet nespojitostí a je absolútne integrovateľná.
Aký je rozdiel medzi Laplaceovou a Fourierovou transformáciou?
- Fourierova transformácia funkcie f (t) je definovaná ako [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], pričom jeho laplaceova transformácia je definovaná ako [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourierova transformácia je definovaná len pre funkcie definované pre všetky reálne čísla, zatiaľ čo Laplaceova transformácia nevyžaduje, aby bola funkcia definovaná na množine záporných reálnych čísel.
- Fourierova transformácia je špeciálny prípad Laplaceovej transformácie. Je vidieť, že obe sa zhodujú pre nezáporné reálne čísla. (t. j. vezmite s v Laplaceovom jazyku ako iα + β, kde α a β sú skutočné tak, že e β=1/ √(2ᴫ))
- Každá funkcia, ktorá má Fourierovu transformáciu, bude mať Laplaceovu transformáciu, ale nie naopak.
