Náhodné premenné vs rozdelenie pravdepodobnosti
Štatistické experimenty sú náhodné experimenty, ktoré možno donekonečna opakovať so známym súborom výsledkov. S takýmito experimentmi sú spojené náhodné premenné aj rozdelenia pravdepodobnosti. Pre každú náhodnú premennú existuje pridružené rozdelenie pravdepodobnosti definované funkciou nazývanou kumulatívna distribučná funkcia.
Čo je náhodná premenná?
Náhodná premenná je funkcia, ktorá priraďuje číselné hodnoty výsledkom štatistického experimentu. Inými slovami, je to funkcia definovaná zo vzorového priestoru štatistického experimentu do množiny reálnych čísel.
Uvažujte napríklad o náhodnom experimente hodenia mincou dvakrát. Možné výsledky sú HH, HT, TH a TT (H – hlavy, T – rozprávky). Nech premenná X je počet hláv pozorovaných v experimente. Potom môže X nadobúdať hodnoty 0, 1 alebo 2 a je to náhodná premenná. Náhodná premenná X tu bude mapovať množinu S={HH, HT, TH, TT} (vzorový priestor) na množinu {0, 1, 2} tak, že HH je mapovaná na 2, HT a TH sú mapované na 1 a TT je mapované na 0. Vo funkčnom zápise to možno zapísať ako, X: S → R kde X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 a X(TT)=0.
Existujú dva typy náhodných premenných: diskrétne a spojité, podľa toho je počet možných hodnôt, ktoré môže náhodná premenná nadobudnúť, nanajvýš spočítateľný alebo nie. V predchádzajúcom príklade je náhodná premenná X diskrétna náhodná premenná, pretože {0, 1, 2} je konečná množina. Teraz zvážte štatistický experiment zisťovania váh študentov v triede. Nech Y je náhodná premenná definovaná ako váha študenta. Y môže nadobudnúť akúkoľvek skutočnú hodnotu v rámci určitého intervalu. Y je teda spojitá náhodná premenná.
Čo je rozdelenie pravdepodobnosti?
Rozdelenie pravdepodobnosti je funkcia, ktorá popisuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne určité hodnoty.
Funkciu nazývanú kumulatívna distribučná funkcia (F) možno definovať z množiny reálnych čísel do množiny reálnych čísel ako F(x)=P(X ≤ x) (pravdepodobnosť, že X je menšia ako alebo rovná sa x) pre každý možný výsledok x. Teraz možno kumulatívnu distribučnú funkciu X v prvom príklade zapísať ako F(a)=0, ak a<0; F(a)=0,25, ak 0 V prípade diskrétnych náhodných premenných možno definovať funkciu z množiny možných výsledkov na množinu reálnych čísel tak, že ƒ(x)=P(X=x) (pravdepodobnosť X sa rovná x) pre každý možný výsledok x. Táto konkrétna funkcia ƒ sa nazýva funkcia hmotnosti pravdepodobnosti náhodnej premennej X. Teraz možno funkciu hmotnosti pravdepodobnosti X v prvom konkrétnom príklade zapísať ako ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 a ƒ(x)=0 inak. Funkcia hmotnosti pravdepodobnosti spolu s funkciou kumulatívneho rozdelenia teda bude popisovať rozdelenie pravdepodobnosti X v prvom príklade. V prípade spojitých náhodných premenných môže byť funkcia nazývaná funkcia hustoty pravdepodobnosti (ƒ) definovaná ako ƒ(x)=dF(x)/dx pre každé x, kde F je kumulatívna distribučná funkcia spojitá náhodná premenná. Je ľahké vidieť, že táto funkcia spĺňa ∫ƒ(x)dx=1. Funkcia hustoty pravdepodobnosti spolu s funkciou kumulatívneho rozdelenia popisuje rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej. Napríklad normálne rozdelenie (čo je spojité rozdelenie pravdepodobnosti) je opísané pomocou funkcie hustoty pravdepodobnosti ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)). Aký je rozdiel medzi náhodnými premennými a rozdelením pravdepodobnosti? • Náhodná premenná je funkcia, ktorá priraďuje hodnoty vzorového priestoru k reálnemu číslu. • Rozdelenie pravdepodobnosti je funkcia, ktorá priraďuje hodnoty, ktoré môže náhodná premenná nadobudnúť, k príslušnej pravdepodobnosti výskytu.
