Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti vs funkcia hustoty pravdepodobnosti
Pravdepodobnosť je pravdepodobnosť, že nastane udalosť. Táto myšlienka je veľmi bežná a často sa používa v každodennom živote, keď hodnotíme naše príležitosti, transakcie a mnoho ďalších vecí. Rozšírenie tohto jednoduchého konceptu na väčší súbor udalostí je o niečo náročnejšie. Nemôžeme napríklad ľahko zistiť šance na výhru v lotérii, ale je pohodlné, skôr intuitívne, povedať, že existuje pravdepodobnosť, že jedna zo šiestich dostaneme číslo šesť v hodenej kocke.
Keď sa počet udalostí, ktoré sa môžu stať, narastá alebo je počet individuálnych možností veľký, táto pomerne jednoduchá myšlienka pravdepodobnosti zlyháva. Preto je potrebné poskytnúť solídnu matematickú definíciu predtým, ako pristúpime k problémom s vyššou zložitosťou.
Keď je počet udalostí, ktoré sa môžu odohrať v jednej situácii, veľký, nie je možné posudzovať každú udalosť jednotlivo tak, ako je to v príklade hodenej kocky. Preto je celý súbor udalostí zhrnutý zavedením konceptu náhodnej premennej. Je to premenná, ktorá môže nadobudnúť hodnoty rôznych udalostí v danej situácii (alebo vzorovom priestore). Dáva matematický zmysel jednoduchým udalostiam v situácii a matematický spôsob riešenia udalosti. Presnejšie povedané, náhodná premenná je funkcia skutočnej hodnoty nad prvkami vzorového priestoru. Náhodné premenné môžu byť buď diskrétne alebo spojité. Zvyčajne sa označujú veľkými písmenami anglickej abecedy.
Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti (alebo jednoducho rozdelenie pravdepodobnosti) je funkcia, ktorá priraďuje hodnoty pravdepodobnosti pre každú udalosť; t.j. poskytuje vzťah k pravdepodobnostiam hodnôt, ktoré môže náhodná premenná nadobudnúť. Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti je definovaná pre diskrétne náhodné premenné.
Funkcia hustoty pravdepodobnosti je ekvivalentom funkcie rozdelenia pravdepodobnosti pre spojité náhodné premenné, dáva pravdepodobnosť, že určitá náhodná premenná nadobudne určitú hodnotu.
Ak X je diskrétna náhodná premenná, funkcia uvedená ako f (x)=P (X=x) pre každé x v rozsahu X sa nazýva funkcia rozdelenia pravdepodobnosti. Funkcia môže slúžiť ako funkcia rozdelenia pravdepodobnosti vtedy a len vtedy, ak funkcia spĺňa nasledujúce podmienky.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Funkcia f (x), ktorá je definovaná nad množinou reálnych čísel, sa nazýva funkcia hustoty pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej X vtedy a len vtedy, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx pre akékoľvek reálne konštanty a a b.
Funkcia hustoty pravdepodobnosti by mala spĺňať aj nasledujúce podmienky.
1. f (x) ≥ 0 pre všetky x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti aj funkcia hustoty pravdepodobnosti sa používajú na vyjadrenie rozdelenia pravdepodobností v priestore vzorky. Bežne sa nazývajú rozdelenia pravdepodobnosti.
Pre štatistické modelovanie sa odvodzujú štandardné funkcie hustoty pravdepodobnosti a funkcie rozdelenia pravdepodobnosti. Normálne rozdelenie a štandardné normálne rozdelenie sú príklady spojitého rozdelenia pravdepodobnosti. Binomické rozdelenie a Poissonovo rozdelenie sú príklady diskrétnych rozdelení pravdepodobnosti.
Aký je rozdiel medzi rozdelením pravdepodobnosti a funkciou hustoty pravdepodobnosti?
• Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti a funkcia hustoty pravdepodobnosti sú funkcie definované vo vzorovom priestore na priradenie relevantnej hodnoty pravdepodobnosti každému prvku.
• Funkcie rozdelenia pravdepodobnosti sú definované pre diskrétne náhodné premenné, zatiaľ čo funkcie hustoty pravdepodobnosti sú definované pre spojité náhodné premenné.
• Distribúciu hodnôt pravdepodobnosti (t. j. rozdelenia pravdepodobnosti) najlepšie zobrazuje funkcia hustoty pravdepodobnosti a funkcia rozdelenia pravdepodobnosti.
• Funkciu rozdelenia pravdepodobnosti možno znázorniť ako hodnoty v tabuľke, ale to nie je možné pre funkciu hustoty pravdepodobnosti, pretože premenná je spojitá.
• Pri vykreslení funkcia rozdelenia pravdepodobnosti poskytuje stĺpcový graf, zatiaľ čo funkcia hustoty pravdepodobnosti poskytuje krivku.
• Výška/dĺžka pruhov funkcie rozdelenia pravdepodobnosti sa musí pridať k 1, zatiaľ čo plocha pod krivkou funkcie hustoty pravdepodobnosti sa musí pridať k 1.
• V oboch prípadoch musia byť všetky hodnoty funkcie nezáporné.
