Prechodné vlastníctvo vs substitučné vlastníctvo
Vlastnosť substitúcie sa používa pre hodnoty alebo premenné, ktoré predstavujú čísla. Substitučná vlastnosť rovnosti hovorí, že pre ľubovoľné čísla a a b, ak a=b, potom a možno nahradiť b. Preto, ak a=b, potom môžeme zmeniť akékoľvek „a“na „b“alebo akékoľvek „b“na „a“.
Ak je napríklad dané, že x=6, potom môžeme vyriešiť výraz (x+4)/5 dosadením hodnoty x. Nahradením 5 za x vo vyššie uvedenom výraze; (6+4)/5=2. Akékoľvek dve hodnoty môžu byť v podstate nahradené jedna za druhú, práve vtedy, ak sú si navzájom rovné.
V geometrii je definovaná substitučná vlastnosť. Podľa tejto definície substitučnej vlastnosti, ak sú dva geometrické objekty (môžu to byť dva uhly, úsečky, trojuholníky alebo čokoľvek iné) zhodné, potom tieto dva geometrické objekty môžu byť nahradené jedným iným v príkaze zahŕňajúcom jeden z nich.
Prechodná vlastnosť je formálnejšia definícia, ktorá je definovaná na binárnych vzťahoch. Relácia R z množiny A do množiny B je množina usporiadaných dvojíc, ak sú A a B rovnaké, hovoríme, že relácia je binárna relácia na A. Tranzitívna vlastnosť je jedna z vlastností (reflexná, symetrická, Transitive) používa sa na definovanie vzťahov ekvivalencie.
Relácia R je tranzitívna vtedy a len vtedy, ak x súvisí s R s y a y súvisí s R so z, potom x súvisí s R so z. Symbolicky môže byť tranzitívna vlastnosť definovaná nasledovne. Nech a, b a c patriace do množiny A, binárna relácia „~“má tranzitívnu vlastnosť definovanú ako a ~ b a b ~ c, potom to znamená ~ c.
Napríklad „byť väčší ako“je tranzitívny vzťah. Ak a, b a c sú akékoľvek reálne čísla také, že a je väčšie ako b a b je väčšie ako c, potom je logickým dôsledkom, že a je väčšie ako c. „Byť vyšší“je tiež prechodný vzťah. Ak je Kate vyššia ako Mary a Mary je vyššia ako Jenney, znamená to, že Kate je vyššia ako Jenney.
Kritériá tranzitívnych vzťahov nemôžeme použiť na všetky binárne vzťahy. Napríklad, ak je Bill Johnov otec a John je Fredov otec, neznamená to, že Bill je Fredov otec. Podobne „páči sa mi“je neprechodná vlastnosť. Ak má Wilson rád Henryho a Henry má rád Davida, neznamená to, že Wilson má rád Davida. Nejde teda o tranzitívny vzťah.
V geometrii je tranzitívna vlastnosť (pre tri segmenty alebo uhly) definovaná takto:
Ak sa dva segmenty (alebo uhly) zhodujú každý s tretím segmentom (alebo uhlom), potom sú navzájom zhodné.
Prechodná vlastnosť rovnosti je definovaná nasledovne. Nech a, b a c sú ľubovoľné tri prvky v množine A, takže a=bab=c, potom a=c. Vyzerá to podobne ako substitučná vlastnosť, ktorú možno považovať za nahradenie b za c v rovnici a=b. Tieto dve vlastnosti však nie sú rovnaké.
