Rozdiel medzi Riemann Integral a Lebesgue Integral

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 13:49

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrácia je hlavnou témou v kalkulácii. V širšom zmysle možno integráciu vnímať ako opačný proces diferenciácie. Pri modelovaní problémov reálneho sveta je ľahké písať výrazy zahŕňajúce deriváty. V takejto situácii je potrebná integračná operácia na nájdenie funkcie, ktorá poskytla konkrétnu deriváciu.

Z iného uhla pohľadu je integrácia proces, ktorý sčítava súčin funkcie ƒ(x) a δx, kde δx má tendenciu byť určitou limitou. Preto používame integračný symbol ako ∫. Symbol ∫ je v skutočnosti to, čo získame natiahnutím písmena s na súčet.

Riemann Integral

Zvážte funkciu y=ƒ(x). Integrál y medzi a a b, kde a a b patria do množiny x, sa zapíše ako _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Toto sa nazýva určitý integrál jednohodnotovej a spojitej funkcie y=ƒ(x) medzi a a b. To dáva plochu pod krivkou medzi a a b. Toto sa nazýva aj Riemannov integrál. Riemannov integrál vytvoril Bernhard Riemann. Riemannov integrál spojitej funkcie je založený na Jordanovej miere, preto je definovaný aj ako limita Riemannových súčtov funkcie. Pre funkciu s reálnou hodnotou definovanou na uzavretom intervale, Riemannov integrál funkcie vzhľadom na oddiel x₁, x₂, …, x n _{definované na intervale [a, b] a t}1_{, t}2_{, …, t n}, kde x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 pre každé i ε {1, 2, …, n}, Riemannov súčet je definovaný ako Σ_{i=o až n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue je ďalší typ integrálu, ktorý pokrýva širokú škálu prípadov ako Riemannov integrál. Lebesgueov integrál zaviedol Henri Lebesgue v roku 1902. Legesgueovu integráciu možno považovať za zovšeobecnenie Riemannovej integrácie.

Prečo potrebujeme študovať ďalší integrál?

Uvažujme charakteristickú funkciu ƒ_{A (x)=}{_{0 ak, x nie ε A}^{1 ak, x ε A} na množine A. Potom konečná lineárna kombinácia charakteristických funkcií, ktorá je definovaná ako F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) sa nazýva jednoduchá funkcia, ak E} i _{je merateľné pre každé i. Lebesgueov integrál F (x) nad E je označený} E_{∫ ƒ(x)dx. Funkcia F (x) nie je Riemannova integrovateľná. Preto je Lebesgueov integrál preformulovaný Riemannov integrál, ktorý má určité obmedzenia na funkcie, ktoré sa majú integrovať.}

Aký je rozdiel medzi Riemann Integral a Lebesgue Integral?

· Lebesgueov integrál je zovšeobecnená forma Riemannovho integrálu.

· Lebesgueov integrál umožňuje spočítateľné nekonečno nespojitostí, kým Riemannov integrál umožňuje konečný počet nespojitostí.