Paralelogram vs štvoruholník
Štvoruholníky a rovnobežníky sú mnohouholníky nachádzajúce sa v euklidovskej geometrii. Rovnobežník je špeciálny prípad štvoruholníka. Štvoruholníky môžu byť buď rovinné (2D) alebo 3-rozmerné, zatiaľ čo rovnobežníky sú vždy rovinné.
Štvoruholník
Štvoruholník je mnohouholník so štyrmi stranami. Má štyri vrcholy a súčet vnútorných uhlov je 3600 (2π rad). Štvoruholníky sa klasifikujú do kategórií samopretínajúcich sa a jednoduchých štvoruholníkov. Samo sa pretínajúce štvoruholníky majú dve alebo viac strán, ktoré sa navzájom križujú, a vo vnútri štvoruholníka sú vytvorené menšie geometrické útvary (ako sú trojuholníky).
Jednoduché štvoruholníky sa tiež delia na konvexné a konkávne štvoruholníky. Konkávne štvoruholníky majú priľahlé strany tvoriace reflexné uhly vo vnútri postavy. Jednoduché štvoruholníky, ktoré vo vnútri nemajú reflexné uhly, sú konvexné štvoruholníky. Konvexné štvoruholníky môžu mať vždy mozaiky.
Hlavná časť geometrie štvoruholníkov na počiatočných úrovniach sa týka konvexných štvoruholníkov. Niektoré štvoruholníky sú nám veľmi známe z čias základných škôl. Nasleduje diagram znázorňujúci rôzne konvexné štvoruholníky.
Paralelogram
Paralelogram možno definovať ako geometrický útvar so štyrmi stranami, pričom protiľahlé strany sú navzájom rovnobežné. Presnejšie ide o štvoruholník s dvoma pármi rovnobežných strán. Táto paralelná povaha dáva mnoho geometrických charakteristík rovnobežníkom.
Štvoruholník je rovnobežník, ak sa nájdu nasledujúce geometrické charakteristiky.
• Dva páry protiľahlých strán majú rovnakú dĺžku. (AB=DC, AD=BC)
• Dva páry protiľahlých uhlov majú rovnakú veľkosť. ([latex]D\klobúk{A}B=B\klobúk{C}D, A\klobúk{D}C=A\klobúk{B}C[/latex])
• Ak sú susedné uhly doplnkové [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\klobúk{B}C=A\klobúk{B}C + D\klobúk{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Dvojica strán, ktoré sú proti sebe, je rovnobežná a má rovnakú dĺžku. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonály sa navzájom pretínajú (AO=OC, BO=OD)
• Každá uhlopriečka rozdeľuje štvoruholník na dva zhodné trojuholníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Súčet druhých mocnín strán sa navyše rovná súčtu druhých mocnín uhlopriečok. Toto sa niekedy označuje ako paralelogramový zákon a má široké uplatnenie vo fyzike a inžinierstve. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Každá z vyššie uvedených charakteristík môže byť použitá ako vlastnosti, keď sa zistí, že štvoruholník je rovnobežník.
Oblasť rovnobežníka možno vypočítať ako súčin dĺžky jednej strany a výšky na opačnej strane. Preto môže byť plocha rovnobežníka uvedená ako
Oblasť rovnobežníka=základňa × výška=AB × h
Oblasť rovnobežníka je nezávislá od tvaru jednotlivého rovnobežníka. Závisí len od dĺžky základne a kolmej výšky.
Ak strany rovnobežníka možno znázorniť dvoma vektormi, plochu možno získať veľkosťou vektorového súčinu (krížový súčin) dvoch susedných vektorov.
Ak sú strany AB a AD reprezentované vektormi ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) a ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), plocha rovnobežník je daný výrazom [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kde α je uhol medzi [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Nasledujú niektoré pokročilé vlastnosti rovnobežníka;
• Plocha rovnobežníka je dvojnásobkom plochy trojuholníka vytvoreného niektorou z jeho uhlopriečok.
• Plocha rovnobežníka je rozdelená na polovicu ľubovoľnou čiarou prechádzajúcou stredom.
• Akákoľvek nedegenerovaná afinná transformácia prenesie rovnobežník do iného rovnobežníka
• Rovnobežník má rotačnú symetriu rádu 2
• Súčet vzdialeností od akéhokoľvek vnútorného bodu rovnobežníka k stranám nezávisí od umiestnenia bodu
Aký je rozdiel medzi rovnobežníkom a štvoruholníkom?
• Štvoruholníky sú mnohouholníky so štyrmi stranami (niekedy nazývané štvoruholníky), zatiaľ čo rovnobežník je špeciálnym typom štvoruholníka.
• Štvoruholníky môžu mať svoje strany v rôznych rovinách (v 3D priestore), pričom všetky strany rovnobežníka ležia v rovnakej rovine (rovinnej/2rozmernej).
• Vnútorné uhly štvoruholníka môžu mať akúkoľvek hodnotu (vrátane reflexných uhlov), takže ich súčet môže byť 3600. Rovnobežníky môžu mať iba tupé uhly ako maximálny typ uhla.
• Štyri strany štvoruholníka môžu mať rôznu dĺžku, zatiaľ čo protiľahlé strany rovnobežníka sú vždy navzájom rovnobežné a majú rovnakú dĺžku.
• Akákoľvek uhlopriečka rozdeľuje rovnobežník na dva zhodné trojuholníky, zatiaľ čo trojuholníky tvorené uhlopriečkou všeobecného štvoruholníka nemusia byť nevyhnutne zhodné.
