Paralelogram verzus obdĺžnik
Paralelogram a obdĺžnik sú štvoruholníky. Geometria týchto obrazcov bola ľudstvu známa už tisíce rokov. Táto téma je výslovne spracovaná v knihe „Elements“, ktorú napísal grécky matematik Euclid.
Paralelogram
Paralelogram možno definovať ako geometrický útvar so štyrmi stranami, pričom protiľahlé strany sú navzájom rovnobežné. Presnejšie ide o štvoruholník s dvoma pármi rovnobežných strán. Táto paralelná povaha dáva mnoho geometrických charakteristík rovnobežníkom.
Štvoruholník je rovnobežník, ak sa nájdu nasledujúce geometrické charakteristiky.
• Dva páry protiľahlých strán majú rovnakú dĺžku. (AB=DC, AD=BC)
• Dva páry protiľahlých uhlov majú rovnakú veľkosť. ([latex]D\klobúk{A}B=B\klobúk{C}D, A\klobúk{D}C=A\klobúk{B}C[/latex])
• Ak sú susedné uhly doplnkové [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\klobúk{B}C=A\klobúk{B}C + D\klobúk{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Dvojica strán, ktoré sú proti sebe, je rovnobežná a má rovnakú dĺžku. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonály sa navzájom pretínajú (AO=OC, BO=OD)
• Každá uhlopriečka rozdeľuje štvoruholník na dva zhodné trojuholníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Súčet druhých mocnín strán sa navyše rovná súčtu druhých mocnín uhlopriečok. Toto sa niekedy označuje ako paralelogramový zákon a má široké uplatnenie vo fyzike a inžinierstve. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Každá z vyššie uvedených charakteristík môže byť použitá ako vlastnosti, keď sa zistí, že štvoruholník je rovnobežník.
Oblasť rovnobežníka možno vypočítať ako súčin dĺžky jednej strany a výšky na opačnej strane. Preto môže byť plocha rovnobežníka uvedená ako
Oblasť rovnobežníka=základňa × výška=AB × h
Oblasť rovnobežníka je nezávislá od tvaru jednotlivého rovnobežníka. Závisí len od dĺžky základne a kolmej výšky.
Ak strany rovnobežníka možno znázorniť dvoma vektormi, plochu možno získať veľkosťou vektorového súčinu (krížový súčin) dvoch susedných vektorov.
Ak sú strany AB a AD reprezentované vektormi ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) a ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), plocha rovnobežník je daný výrazom [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kde α je uhol medzi [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Nasledujú niektoré pokročilé vlastnosti rovnobežníka;
• Plocha rovnobežníka je dvojnásobkom plochy trojuholníka vytvoreného niektorou z jeho uhlopriečok.
• Plocha rovnobežníka je rozdelená na polovicu ľubovoľnou čiarou prechádzajúcou stredom.
• Akákoľvek nedegenerovaná afinná transformácia prenesie rovnobežník do iného rovnobežníka
• Rovnobežník má rotačnú symetriu rádu 2
• Súčet vzdialeností od akéhokoľvek vnútorného bodu rovnobežníka k stranám nezávisí od umiestnenia bodu
Rectangle
Štvoruholník so štyrmi pravými uhlami je známy ako obdĺžnik. Ide o špeciálny prípad rovnobežníka, kde uhly medzi akýmikoľvek dvoma susednými stranami sú pravé.
Okrem všetkých vlastností rovnobežníka možno pri zvažovaní geometrie obdĺžnika rozpoznať aj ďalšie charakteristiky.
• Každý uhol vo vrcholoch je pravý.
• Uhlopriečky majú rovnakú dĺžku a navzájom sa pretínajú. Preto majú rozpolené časti tiež rovnakú dĺžku.
• Dĺžka uhlopriečok sa dá vypočítať pomocou Pythagorovej vety:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Vzorec plochy sa zmenší na súčin dĺžky a šírky.
Oblasť obdĺžnika=dĺžka × šírka
• Mnoho symetrických vlastností sa nachádza na obdĺžniku, ako napríklad;
– Obdĺžnik je cyklický, pričom všetky vrcholy môžu byť umiestnené na obvode kruhu.
– Je to rovnouholníkové, kde sú všetky uhly rovnaké.
– Je izogonálny, kde všetky rohy ležia na rovnakej symetrickej dráhe.
– Má odrazovú symetriu aj rotačnú symetriu.
Aký je rozdiel medzi rovnobežníkom a obdĺžnikom?
• Rovnobežník a obdĺžnik sú štvoruholníky. Obdĺžnik je špeciálny prípad rovnobežníkov.
• Plochu ľubovoľného možno vypočítať pomocou vzorca základ ×výška.
• Vzhľadom na uhlopriečky;
– Uhlopriečky rovnobežníka sa navzájom pretínajú a rozdeľujú rovnobežník tak, aby vytvorili dva zhodné trojuholníky.
– Uhlopriečky obdĺžnika majú rovnakú dĺžku a navzájom sa pretínajú; rozpolené časti majú rovnakú dĺžku. Uhlopriečky rozdeľujú obdĺžnik na dva zhodné pravouhlé trojuholníky.
• Vzhľadom na vnútorné uhly;
– Protiľahlé vnútorné uhly rovnobežníka majú rovnakú veľkosť. Dva susedné vnútorné uhly sú doplnkové
– Všetky štyri vnútorné uhly obdĺžnika sú pravé.
• Vzhľadom na strany;
– V rovnobežníku sa súčet štvorcov strán rovná súčtu druhých mocnín uhlopriečky (zákon rovnobežníka)
– V obdĺžnikoch sa súčet štvorcov dvoch susedných strán rovná štvorcu uhlopriečky na koncoch. (Pythagorovo pravidlo)
