Lineárne vs nelineárne diferenciálne rovnice
Rovnica obsahujúca aspoň jeden diferenciálny koeficient alebo deriváciu neznámej premennej je známa ako diferenciálna rovnica. Diferenciálna rovnica môže byť lineárna alebo nelineárna. Cieľom tohto článku je vysvetliť, čo je lineárna diferenciálna rovnica, čo je nelineárna diferenciálna rovnica a aký je rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami.
Od vývoja počtu v 18. storočí matematikmi ako Newton a Leibnitz zohrávajú diferenciálne rovnice dôležitú úlohu v príbehu matematiky. Diferenciálne rovnice majú v matematike veľký význam, pretože majú široký rozsah aplikácií. Diferenciálne rovnice sú jadrom každého modelu, ktorý vyvíjame, aby sme vysvetlili akýkoľvek scenár alebo udalosť vo svete, či už ide o fyziku, inžinierstvo, chémiu, štatistiku, finančnú analýzu alebo biológiu (zoznam je nekonečný). V skutočnosti, kým sa počet nestal zavedenou teóriou, neboli k dispozícii správne matematické nástroje na analýzu zaujímavých problémov v prírode.
Výsledné rovnice zo špecifickej aplikácie kalkulu môžu byť veľmi zložité a niekedy neriešiteľné. Sú však také, ktoré vieme vyriešiť, no môžu vyzerať podobne a mätúce. Pre ľahšiu identifikáciu sú preto diferenciálne rovnice kategorizované podľa ich matematického správania. Lineárne a nelineárne sú jednou z takýchto kategorizácií. Je dôležité identifikovať rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami.
Čo je lineárna diferenciálna rovnica?
Predpokladajme, že f: X→Y a f(x)=y, diferenciálna rovnica bez nelineárnych členov neznámej funkcie y a jej derivátov je známa ako lineárna diferenciálna rovnica.
Ukladá podmienku, že y nemôže mať vyššie indexové výrazy, ako napríklad y2, y3, … a násobky derivátov, napr. ako
Nemôže tiež obsahovať nelineárne výrazy ako Sin y, e y ^-2 alebo ln y. Má formu,
kde y a g sú funkcie x. Rovnica je diferenciálna rovnica rádu n, čo je index derivácie najvyššieho rádu.
V lineárnej diferenciálnej rovnici je diferenciálny operátor lineárnym operátorom a riešenia tvoria vektorový priestor. V dôsledku lineárnej povahy množiny riešení je riešením diferenciálnej rovnice aj lineárna kombinácia riešení. To znamená, že ak y1 a y2 sú riešenia diferenciálnej rovnice, potom C1 y 1+ C2 y2 je tiež riešením.
Linearita rovnice je len jedným parametrom klasifikácie a možno ju ďalej kategorizovať na homogénne alebo nehomogénne a obyčajné alebo parciálne diferenciálne rovnice. Ak je funkcia g=0, potom rovnica je lineárna homogénna diferenciálna rovnica. Ak f je funkciou dvoch alebo viacerých nezávislých premenných (f: X, T→Y) a f(x, t)=y, potom rovnica je lineárna parciálna diferenciálna rovnica.
Metóda riešenia diferenciálnej rovnice závisí od typu a koeficientov diferenciálnej rovnice. Najjednoduchší prípad nastáva, keď sú koeficienty konštantné. Klasickým príkladom pre tento prípad je druhý Newtonov pohybový zákon a jeho rôzne aplikácie. Druhý Newtonov zákon vytvára lineárnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi.
Čo je to nelineárna diferenciálna rovnica?
Rovnice, ktoré obsahujú nelineárne členy, sú známe ako nelineárne diferenciálne rovnice.
Všetky vyššie uvedené sú nelineárne diferenciálne rovnice. Nelineárne diferenciálne rovnice sa ťažko riešia, preto je na získanie správneho riešenia potrebná dôkladná štúdia. V prípade parciálnych diferenciálnych rovníc väčšina rovníc nemá všeobecné riešenie. Preto sa s každou rovnicou musí zaobchádzať nezávisle.
Navier-Stokesova rovnica a Eulerova rovnica v dynamike tekutín, Einsteinove rovnice poľa všeobecnej teórie relativity sú dobre známe nelineárne parciálne diferenciálne rovnice. Niekedy môže aplikácia Lagrangeovej rovnice na premenný systém vyústiť do systému nelineárnych parciálnych diferenciálnych rovníc.
Aký je rozdiel medzi lineárnymi a nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami?
• Diferenciálna rovnica, ktorá má iba lineárne členy neznámej alebo závislej premennej a jej derivátov, je známa ako lineárna diferenciálna rovnica. Nemá žiadny člen so závislou premennou indexu vyšším ako 1 a neobsahuje žiadny násobok jej derivátov. Nemôže mať nelineárne funkcie, ako sú goniometrické funkcie, exponenciálna funkcia a logaritmické funkcie vzhľadom na závislú premennú. Akákoľvek diferenciálna rovnica, ktorá obsahuje vyššie uvedené pojmy, je nelineárna diferenciálna rovnica.
• Riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc vytvárajú vektorový priestor a diferenciálny operátor je tiež lineárnym operátorom vo vektorovom priestore.
• Riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc sú relatívne jednoduchšie a existujú všeobecné riešenia. Pre nelineárne rovnice vo väčšine prípadov všeobecné riešenie neexistuje a riešenie môže byť špecifické pre daný problém. To robí riešenie oveľa zložitejším ako lineárne rovnice.
