Derivačný verzus integrálny
Diferenciácia a integrácia sú dve základné operácie v programe Calculus. Majú množstvo aplikácií v niekoľkých oblastiach, ako je matematika, inžinierstvo a fyzika. Derivácia aj integrál rozoberajú správanie funkcie alebo správanie fyzickej entity, ktoré nás zaujíma.
Čo je derivát?
Predpokladajme, že y=ƒ(x) a x0 je v doméne ƒ. Potom limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx sa nazýva okamžitá rýchlosť zmeny ƒ pri x0, za predpokladu, že táto limita existuje konečne. Táto limita sa tiež nazýva derivácia at a je označená ƒ(x).
Hodnota derivácie funkcie f v ľubovoľnom bode x v obore funkcie je daná výrazom limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Označuje sa jedným z nasledujúcich výrazov: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Pre funkcie s viacerými premennými definujeme parciálnu deriváciu. Parciálna derivácia funkcie s viacerými premennými je jej deriváciou vzhľadom na jednu z týchto premenných za predpokladu, že ostatné premenné sú konštantné. Symbol parciálnej derivácie je ∂.
Geometricky možno deriváciu funkcie interpretovať ako sklon krivky funkcie ƒ(x).
Čo je Integral?
Integrácia alebo anti-diferenciácia je opačný proces diferenciácie. Inými slovami, je to proces hľadania pôvodnej funkcie, keď je daná derivácia funkcie. Preto integrál alebo anti-derivát funkcie ƒ(x), ak ƒ(x)=F (x) možno definovať ako funkciu F (x), pre všetky x v obore ƒ(x).
Výraz ∫ƒ(x) dx označuje deriváciu funkcie ƒ(x). Ak ƒ(x)=F (x), potom ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, kde C je konštanta, ∫ƒ(x) dx sa nazýva neurčitý integrál ƒ(x).
Pre akúkoľvek funkciu ƒ, ktorá nemusí byť nevyhnutne nezáporná a definovaná na intervale [a, b], a∫b ƒ(x) dx sa nazýva určitý integrál ƒ na [a, b].
Určitý integrál a∫bƒ(x) dx funkcie ƒ(x) možno geometricky interpretovať ako obsah oblasť ohraničená krivkou ƒ(x), osou x a priamkami x=a a x=b.
Aký je rozdiel medzi derivátom a integrálom?
• Derivát je výsledkom diferenciácie procesu, zatiaľ čo integrál je výsledkom integrácie procesu.
• Derivácia funkcie predstavuje sklon krivky v akomkoľvek danom bode, zatiaľ čo integrál predstavuje plochu pod krivkou.
