Derivačný vs diferenciál
V diferenciálnom počte derivácia a diferenciál funkcie úzko súvisia, ale majú veľmi odlišný význam a používajú sa na reprezentáciu dvoch dôležitých matematických objektov súvisiacich s diferencovateľnými funkciami.
Čo je derivát?
Derivácia funkcie meria rýchlosť, ktorou sa mení funkčná hodnota, keď sa mení jej vstup. Vo funkciách viacerých premenných závisí zmena funkčnej hodnoty od smeru zmeny hodnôt nezávislých premenných. Preto sa v takýchto prípadoch zvolí konkrétny smer a funkcia sa v tomto konkrétnom smere diferencuje. Táto derivácia sa nazýva smerová derivácia. Čiastočné derivácie sú špeciálnym druhom smerových derivácií.
Deriváciu funkcie s vektorovou hodnotou f možno definovať ako limitu [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] kdekoľvek existuje. Ako už bolo spomenuté, toto nám dáva rýchlosť nárastu funkcie f v smere vektora u. V prípade jednohodnotovej funkcie sa to redukuje na dobre známu definíciu derivácie, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Napríklad [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je všade diferencovateľný a derivácia sa rovná limitu, [latex]\\lim_{h \\do 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], čo je rovná sa [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivácie funkcií ako [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existujú všade. Rovnajú sa funkciám [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Toto je známe ako prvá derivácia. Zvyčajne sa prvá derivácia funkcie f označuje ako f (1) Teraz pomocou tohto zápisu je možné definovať derivácie vyššieho rádu. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] je smerová derivácia druhého rádu a n th derivát označuje f (n) pre každé n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definuje n th derivát.
Čo je diferenciál?
Diferenciál funkcie predstavuje zmenu funkcie vzhľadom na zmeny nezávislej premennej alebo premenných. V obvyklom zápise je pre danú funkciu f jedinej premennej x celkový diferenciál rádu 1 df daný vzťahom, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. To znamená, že pre nekonečne malú zmenu v x (t.j. d x) dôjde k zmene f (1)(x)d x zmena v f.
Používanie limitov môže skončiť s touto definíciou takto. Predpokladajme, že ∆ x je zmena x v ľubovoľnom bode x a ∆ f je zodpovedajúca zmena funkcie f. Dá sa ukázať, že ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, kde ϵ je chyba. Teraz limit ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (použitím vyššie uvedenej definície derivátu) a teda ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Preto je možné dospieť k záveru, že ∆ x→ 0 ϵ=0. Označením ∆ x→ 0 ∆ f ako d f a ∆ x→ 0 ∆ x ako d x je definícia diferenciálu presne získaná.
Napríklad diferenciál funkcie [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
V prípade funkcií dvoch alebo viacerých premenných je celkový diferenciál funkcie definovaný ako súčet diferenciálov v smeroch každej z nezávislých premenných. Matematicky to možno uviesť ako [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\čiastočné f}{\čiastočné x_{i}}dx_{i}[/latex].
Aký je rozdiel medzi deriváciou a diferenciálom?
• Derivácia sa vzťahuje na rýchlosť zmeny funkcie, zatiaľ čo diferenciál sa vzťahuje na skutočnú zmenu funkcie, keď je nezávislá premenná vystavená zmene.
• Derivát je daný výrazom [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], ale rozdiel je daný vzťahom [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
