Power Series vs Taylor Series
V matematike je reálna postupnosť usporiadaný zoznam reálnych čísel. Formálne ide o funkciu z množiny prirodzených čísel do množiny reálnych čísel. Ak an je nth člen postupnosti, označujeme postupnosť pomocou 1, a 2, …, an, …. Uvažujme napríklad postupnosť 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Môže byť označený ako {1/n}.
Je možné definovať sériu pomocou sekvencií. Séria je súčet členov postupnosti. Preto pre každú sekvenciu existuje pridružená sekvencia a naopak. Ak {an je uvažovaná sekvencia, potom séria tvorená touto sekvenciou môže byť reprezentovaná ako:
V uvedenom príklade je teda priradený rad 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Ako už názov napovedá, mocninný rad je špeciálny typ radu a vo veľkej miere sa používa v numerickej analýze a súvisiacom matematickom modelovaní. Taylorova séria je špeciálna mocninová séria, ktorá poskytuje alternatívny a ľahko ovládateľný spôsob reprezentácie známych funkcií.
Čo je mocninová séria?
Mocninový rad je séria tvaru
ktorý je konvergentný (možno) pre nejaký interval so stredom c. Koeficienty anmôžu byť reálne alebo komplexné čísla a sú nezávislé od x; t.j. fiktívna premenná.
Napríklad nastavením an=1 pre každé n a c=0, mocninový rad 1+x+x2 Získa sa +…..+ x+…. Je ľahké pozorovať, že keď x ε (-1, 1), tento mocninový rad konverguje k 1/(1-x).
Mocninný rad konverguje, keď x=c. Ostatné hodnoty x, pre ktoré mocninný rad konverguje, budú mať vždy formu otvoreného intervalu so stredom c. To znamená, že bude existovať hodnota 0≤ R ≤ ∞ taká, že pre každé x spĺňajúce |x-c|≤ R je mocninný rad konvergentný a pre každé x spĺňajúce |x-c|> R je mocninný rad divergentný. Táto hodnota R sa nazýva polomer konvergencie mocninového radu (R môže mať akúkoľvek reálnu hodnotu alebo kladné nekonečno).
Pomocenské rady možno sčítať, odčítať, násobiť a deliť podľa nasledujúcich pravidiel. Zvážte dva mocninné rady:
Potom
t.j. podobné výrazy sa sčítajú alebo odčítajú. Tiež je možné násobiť a deliť dva mocninné rady pomocou identity,
Čo je Taylorova séria?
Taylorov rad je definovaný pre funkciu f (x), ktorá je nekonečne diferencovateľná na intervale. Predpokladajme, že f (x) je diferencovateľné na intervale so stredom c. Potom mocninový rad, ktorý je daný
sa nazýva Taylorov rad expanzie funkcie f (x) okolo c. (Tu f(n) (c) označte n-tý derivát v x=c). V numerickej analýze sa pri výpočte hodnôt v bodoch, kde je rad konvergentný k pôvodnej funkcii, používa konečný počet členov v tomto nekonečnom expanzii.
Funkcia f (x) sa považuje za analytickú v intervale (a, b), ak pre každé x ε (a, b) Taylorov rad f (x) konverguje k funkcii f (X). Napríklad 1/(1-x) je analytické na (-1, 1), pretože jeho Taylorova expanzia 1+x+x2+….+ x +… konverguje k funkcii v tomto intervale a ex je všade analytické, pretože Taylorov rad ex konverguje k e x za každé reálne číslo x.
Aký je rozdiel medzi Power sériou a Taylorovou sériou?
1. Taylorov rad je špeciálna trieda mocninových radov definovaná len pre funkcie, ktoré sú nekonečne diferencovateľné na nejakom otvorenom intervale.
2. Taylorova séria má špeciálnu formu
pričom mocninovým radom môže byť akýkoľvek rad v tvare
