Ortogonálne verzus ortonormálne
V matematike sa dve slová ortogonálny a ortonormálny často používajú spolu so súborom vektorov. Tu sa pojem „vektor“používa v tom zmysle, že ide o prvok vektorového priestoru – algebraickú štruktúru používanú v lineárnej algebre. Pre našu diskusiu budeme brať do úvahy vnútorný priestor produktu – vektorový priestor V spolu s vnútorným produktom definovaným na V.
Ako príklad, pre vnútorný súčin, priestor je množina všetkých 3-rozmerných polohových vektorov spolu s obvyklým bodovým súčinom.
Čo je ortogonálne?
Neprázdna podmnožina S vnútorného súčinového priestoru V sa považuje za ortogonálnu práve vtedy, ak pre každé odlišné u, v v S platí [u, v]=0; t.j. vnútorný súčin uav sa rovná nule skaláru vo vnútornom súčinovom priestore.
Napríklad v množine všetkých 3-rozmerných polohových vektorov je to ekvivalentné tvrdeniu, že pre každý odlišný pár polohových vektorov p a q v S sú p a q navzájom kolmé. (Pamätajte, že vnútorný súčin v tomto vektorovom priestore je bodový súčin. Bodový súčin dvoch vektorov sa tiež rovná 0 práve vtedy, ak sú dva vektory na seba kolmé.)
Uvažujme množinu S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, ktorá je podmnožinou 3-rozmerných polohových vektorov. Všimnite si, že (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Množina S je teda ortogonálna. Najmä dva vektory sa považujú za ortogonálne, ak ich vnútorný súčin je 0. Preto je každý pár vektorov v Sis ortogonálny.
Čo je ortonormálne?
Neprázdna podmnožina S vnútorného súčinového priestoru V sa považuje za ortonormálnu vtedy a len vtedy, ak S je ortogonálna a pre každý vektor u v S je [u, u]=1. Preto je možné vidieť, že každá ortonormálna množina je ortogonálna, ale nie naopak.
Napríklad v množine všetkých 3-rozmerných polohových vektorov je to ekvivalentné tvrdeniu, že pre každý odlišný pár polohových vektorov p a q v S sú p a q navzájom kolmé a pre každé p v S, |p|=1. Dôvodom je, že podmienka [p, p]=1 sa zníži na p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, čo je ekvivalent |p |=1. Preto za predpokladu ortogonálnej množiny môžeme vždy vytvoriť zodpovedajúcu ortonormálnu množinu vydelením každého vektora jeho veľkosťou.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} je ortonormálna podmnožina množiny všetkých 3-rozmerných polohových vektorov. Je ľahké vidieť, že bol získaný vydelením každého z vektorov v množine S ich veľkosťami.
Aký je rozdiel medzi ortogonálnym a ortonormálnym?
- Neprázdna podmnožina S vnútorného súčinového priestoru V sa považuje za ortogonálnu vtedy a len vtedy, ak pre každé odlišné u, v v S, [u, v]=0. Je však ortonormálna, ak a iba ak je splnená dodatočná podmienka – pre každý vektor u v S je [u, u]=1 splnená.
- Akákoľvek ortonormálna množina je ortogonálna, ale nie naopak.
- Akákoľvek ortogonálna množina zodpovedá jedinej ortonormálnej množine, ale ortonormálna množina môže zodpovedať mnohým ortogonálnym množinám.
