Asociatívne vs komutatívne
V našom každodennom živote musíme používať čísla vždy, keď potrebujeme niečo zmerať. V potravinách, na čerpacej stanici a dokonca aj v kuchyni potrebujeme dve alebo viac množstiev sčítať, odčítať a vynásobiť. Z našej praxe tieto výpočty vykonávame celkom bez námahy. Nikdy si nevšimneme ani nepochybujeme, prečo robíme tieto operácie týmto konkrétnym spôsobom. Alebo prečo sa tieto výpočty nedajú urobiť iným spôsobom. Odpoveď sa skrýva v spôsobe, akým sú tieto operácie definované v matematickej oblasti algebry.
V algebre je operácia zahŕňajúca dve veličiny (napríklad sčítanie) definovaná ako binárna operácia. Presnejšie ide o operáciu medzi dvoma prvkami z množiny a tieto prvky sa nazývajú „operand“. Mnohé operácie v matematike vrátane aritmetických operácií spomenutých vyššie a operácií, s ktorými sa stretávame v teórii množín, lineárnej algebre a matematickej logike, možno definovať ako binárne operácie.
Existuje súbor riadiacich pravidiel týkajúcich sa konkrétnej binárnej operácie. Asociatívne a komutatívne vlastnosti sú dve základné vlastnosti binárnych operácií.
Viac o komutatívnom vlastníctve
Predpokladajme, že na prvkoch A a B sa vykoná nejaká binárna operácia označená symbolom ⊗. Ak poradie operandov neovplyvňuje výsledok operácie, potom sa operácia nazýva komutatívna. t.j. ak A ⊗ B=B ⊗ A, potom je operácia komutatívna.
Aritmetické operácie sčítania a násobenia sú komutatívne. Poradie sčítaných alebo vynásobených čísel nemá vplyv na konečnú odpoveď:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Ale v prípade delenia zmena v poradí dáva prevrátenú hodnotu druhého a pri odčítaní zmena dáva zápor druhého. Preto
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 a 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 a 5 ÷ 4=1,25 [v tomto prípade A, B ≠ 1 a 0
V skutočnosti sa odčítanie považuje za antikomutatívne; kde A – B=– (B – A).
Aj logické spojky, spojka, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia sú tiež komutatívne. Funkcie pravdy sú tiež komutatívne. Zjednotenie a prienik množín sú komutatívne. Sčítanie a skalárny súčin vektorov sú tiež komutatívne.
Vektorové odčítanie a vektorový súčin však nie sú komutatívne (vektorový súčin dvoch vektorov je antikomutatívny). Sčítanie matice je komutatívne, ale násobenie a odčítanie nie sú komutatívne.(Násobenie dvoch matíc môže byť v špeciálnych prípadoch komutatívne, ako je násobenie matice s jej inverznou alebo maticou identity; ale určite matice nie sú komutatívne, ak matice nemajú rovnakú veľkosť)
Viac o pridruženom vlastníctve
Binárna operácia sa považuje za asociatívnu, ak poradie vykonania neovplyvní výsledok, keď sú prítomné dva alebo viac výskytov operátora. Zvážte prvky A, B a C a binárnu operáciu ⊗. Operácia ⊗ sa považuje za asociatívnu, ak
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Zo základných aritmetických funkcií je asociatívne iba sčítanie a násobenie.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Odčítanie a delenie nie sú asociatívne;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 a (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 a (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Logické spojky disjunkcia, konjunkcia a ekvivalencia sú asociatívne, rovnako ako zjednotenie a prienik množín. Matica a sčítanie vektora sú asociatívne. Skalárny súčin vektorov je asociatívny, ale vektorový súčin nie. Maticové násobenie je asociatívne iba za špeciálnych okolností.
Aký je rozdiel medzi komutatívnym a asociatívnym vlastníctvom?
• Asociatívna vlastnosť aj komutatívna vlastnosť sú špeciálne vlastnosti binárnych operácií a niektoré ich spĺňajú a niektoré nie.
• Tieto vlastnosti možno vidieť v mnohých formách algebraických operácií a iných binárnych operácií v matematike, ako je priesečník a zjednotenie v teórii množín alebo logické spojky.
• Rozdiel medzi komutatívnou a asociatívnou vlastnosťou je ten, že komutatívna vlastnosť uvádza, že poradie prvkov nemení konečný výsledok, zatiaľ čo asociatívna vlastnosť uvádza, že poradie, v ktorom sa operácia vykonáva, neovplyvňuje konečnú odpoveď.
