Transpose vs inverzná matica
Transpozícia a inverzia sú dva typy matíc so špeciálnymi vlastnosťami, s ktorými sa stretávame v maticovej algebre. Odlišujú sa od seba a nezdieľajú blízky vzťah, pretože operácie na ich získanie sú odlišné.
Majú široké uplatnenie v oblasti lineárnej algebry a odvodených implementácií, ako je počítačová veda.
Viac o Transpose Matrix
Transpozíciu matice A možno identifikovať ako maticu získanú preusporiadaním stĺpcov na riadky alebo riadkov na stĺpce. V dôsledku toho sú indexy každého prvku zamenené. Formálnejšie je transpozícia matice A definovaná ako
kde
V transponovanej matici zostáva uhlopriečka nezmenená, ale všetky ostatné prvky sa otáčajú okolo uhlopriečky. Veľkosť matíc sa tiež mení z m×n na n×m.
Transpozícia má niektoré dôležité vlastnosti a umožňujú ľahšiu manipuláciu s maticami. Niektoré dôležité transpozičné matice sú tiež definované na základe ich charakteristík. Ak sa matica rovná svojej transpozícii, potom je matica symetrická. Ak sa matica rovná svojmu záporu transpozície, matica je šikmo symetrická. Konjugovaná transpozícia matice je transpozícia matice s prvkami nahradenými jej komplexným konjugátom.
Viac o inverznej matici
Inverzná k matici je definovaná ako matica, ktorá po vynásobení dáva maticu identity. Preto podľa definície, ak AB=BA=I, potom B je inverzná matica k A a A je inverzná matica k B. Ak teda vezmeme do úvahy B=A -1, potom AA -1 =A -1 A=ja
Na to, aby bola matica invertibilná, je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou, že determinant A nie je nula; t.j. | A |=det(A) ≠ 0. Matica sa považuje za invertibilnú, nesingulárnu alebo nedegeneratívnu, ak spĺňa túto podmienku. Z toho vyplýva, že A je štvorcová matica a obe A -1 a A majú rovnakú veľkosť.
Inverziu matice A možno vypočítať mnohými metódami v lineárnej algebre, ako je Gaussova eliminácia, vlastný rozklad, Choleského rozklad a Carmerovo pravidlo. Maticu možno invertovať aj metódou blokovej inverzie a Neumanovým radom.
Aký je rozdiel medzi transponovanou a inverznou maticou?
• Transpozícia sa získa preusporiadaním stĺpcov a riadkov v matici, zatiaľ čo inverzná hodnota sa získa pomerne náročným numerickým výpočtom. (Ale v skutočnosti sú obe lineárne transformácie)
• Priamym výsledkom je, že prvky v transpozícii zmenia iba svoju polohu, ale hodnoty sú rovnaké. Ale inverzne môžu byť čísla úplne odlišné od pôvodnej matice.
• Každá matica môže mať transpozíciu, ale inverzná je definovaná len pre štvorcové matice a determinant musí byť nenulový determinant.
