Vzájomne exkluzívne vs. nezávislé udalosti
Ľudia si často mýlia koncept vzájomne sa vylučujúcich udalostí s nezávislými udalosťami. V skutočnosti sú to dve rôzne veci.
Nech A a B sú akékoľvek dve udalosti spojené s náhodným experimentom E. P(A) sa nazýva „pravdepodobnosť A“. Podobne môžeme definovať pravdepodobnosť B ako P(B), pravdepodobnosť A alebo B ako P(A∪B) a pravdepodobnosť A a B ako P(A∩B). Potom P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
O dvoch udalostiach sa však hovorí, že sa navzájom vylučujú, ak výskyt jednej udalosti neovplyvní druhú. Inými slovami, nemôžu sa vyskytovať súčasne. Preto, ak sa dve udalosti A a B vzájomne vylučujú, potom A∩B=∅ a teda to znamená P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Nech A a B sú dve udalosti vo vzorovom priestore S. Podmienená pravdepodobnosť A za predpokladu, že nastala B, je označená P(A | B) a je definovaná ako; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), za predpokladu, že P(B)>0. (inak to nie je definované.)
Udalosť A sa považuje za nezávislú od udalosti B, ak pravdepodobnosť, že nastane A, nie je ovplyvnená tým, či nastala alebo nenastala B. Inými slovami, výsledok udalosti B nemá žiadny vplyv na výsledok udalosti A. Preto P(A | B)=P(A). Podobne je B nezávislé od A, ak P(B)=P(B | A). Môžeme teda dospieť k záveru, že ak sú A a B nezávislé udalosti, potom P(A∩B)=P(A). P(B)
Predpokladajme, že sa hodí očíslovaná kocka a hodí sa poctivá minca. Nech A je udalosť, ktorá získa hlavu a B je udalosť, ktorá hodí párne číslo. Potom môžeme dospieť k záveru, že udalosti A a B sú nezávislé, pretože výsledok jedného neovplyvňuje výsledok druhého. Preto P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Keďže P(A∩B)≠0, A a B sa nemôžu navzájom vylučovať.
Predpokladajme, že urna obsahuje 7 bielych guľôčok a 8 čiernych guľôčok. Definujte udalosť A ako kreslenie bielej gule a udalosť B ako kreslenie čiernej gule. Za predpokladu, že každá gulička bude nahradená po zaznamenaní jej farby, potom P(A) a P(B) budú vždy rovnaké, bez ohľadu na to, koľkokrát vytiahneme z urny. Výmena guličiek znamená, že pravdepodobnosti sa nemenia od ťahania k ťahaniu, bez ohľadu na to, akú farbu sme vybrali pri poslednom ťahu. Preto sú udalosti A a B nezávislé.
Ak sa však guličky kreslia bez náhrady, všetko sa zmení. Za tohto predpokladu udalosti A a B nie sú nezávislé. Prvýkrát nakreslenie bielej gule mení pravdepodobnosť nakreslenia čiernej gule pri druhom ťahaní atď. Inými slovami, každé žrebovanie má vplyv na ďalšie žrebovanie, takže jednotlivé žrebovania nie sú nezávislé.
Rozdiel medzi vzájomne sa vylučujúcimi a nezávislými udalosťami
– Vzájomná exkluzivita udalostí znamená, že medzi množinami A a B nedochádza k prekrývaniu. Nezávislosť udalostí znamená, že udalosti A neovplyvňujú udalosti B.
– Ak sa dve udalosti A a B navzájom vylučujú, potom P(A∩B)=0.
– Ak sú dve udalosti A a B nezávislé, potom P(A∩B)=P(A). P(B)
