Diferenciácia vs derivát
V diferenciálnom počte sú derivácia a diferenciácia úzko súvisiace, ale veľmi odlišné a používajú sa na reprezentáciu dvoch dôležitých matematických konceptov súvisiacich s funkciami.
Čo je derivát?
Derivácia funkcie meria rýchlosť, ktorou sa mení funkčná hodnota, keď sa mení jej vstup. Vo funkciách viacerých premenných závisí zmena funkčnej hodnoty od smeru zmeny hodnôt nezávislých premenných. Preto sa v takýchto prípadoch zvolí konkrétny smer a funkcia sa v tomto konkrétnom smere diferencuje. Táto derivácia sa nazýva smerová derivácia. Čiastočné derivácie sú špeciálnym druhom smerových derivácií.
Deriváciu funkcie s vektorovou hodnotou f možno definovať ako limitu [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] kdekoľvek existuje. Ako už bolo spomenuté, toto nám dáva rýchlosť nárastu funkcie f v smere vektora u. V prípade jednohodnotovej funkcie sa to redukuje na dobre známu definíciu derivácie, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Napríklad [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je všade diferencovateľný a derivácia sa rovná limitu, [latex]\\lim_{h \\do 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], čo je rovná sa [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivácie funkcií ako [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existujú všade. Rovnajú sa funkciám [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Toto je známe ako prvá derivácia. Zvyčajne sa prvá derivácia funkcie f označuje ako f (1) Teraz pomocou tohto zápisu je možné definovať derivácie vyššieho rádu. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] je smerová derivácia druhého rádu a n th derivát označuje f (n) pre každé n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definuje n th derivát.
Čo je diferenciácia?
Diferenciácia je proces hľadania derivácie diferencovateľnej funkcie. D-operátor označený D predstavuje v niektorých kontextoch diferenciáciu. Ak x je nezávislá premenná, potom D ≡ d/dx. D-operátor je lineárny operátor, t. j. pre ľubovoľné dve diferencovateľné funkcie f a g a konštantu c platia nasledujúce vlastnosti.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Pomocou D-operátora môžu byť ostatné pravidlá spojené s diferenciáciou vyjadrené nasledovne. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2a D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Napríklad, keď F(x)=x 2sin x je diferencované vzhľadom na x pomocou daných pravidiel, odpoveď bude 2 x sin x + x2cos x.
Aký je rozdiel medzi diferenciáciou a odvodením?• Derivát sa týka rýchlosti zmeny funkcie • Diferenciácia je proces hľadania derivácie funkcie. |
