Transpozícia verzus konjugovaná transpozícia
Transpozíciu matice A možno identifikovať ako maticu získanú preusporiadaním stĺpcov na riadky alebo riadkov na stĺpce. V dôsledku toho sú indexy každého prvku zamenené. Formálnejšie je transpozícia matice A definovaná ako
kde
V transponovanej matici zostáva uhlopriečka nezmenená. Ale všetky ostatné prvky sú otočené okolo uhlopriečky. Veľkosť matíc sa tiež mení z m×n na n×m.
Transpozícia má niektoré dôležité vlastnosti a umožňujú ľahšiu manipuláciu s maticami. Niektoré dôležité transpozičné matice sú tiež definované na základe ich charakteristík. Ak sa matica rovná svojej transpozícii, potom je matica symetrická. Ak sa matica rovná svojmu záporu transpozície, potom je matica šikmo symetrická.
Konjugovaná transpozícia matice je transpozícia matice s prvkami nahradenými jej komplexným konjugátom. To znamená, že komplexný konjugát (A) je definovaný ako transpozícia komplexného konjugátu matice A.
A=(Ā)T; Podrobne,
kde
a āji ε C.
Je tiež známy ako hermitovská transpozícia a hermitovský konjugát. Ak sa konjugovaná transpozícia rovná samotnej matici, matica je známa ako hermitovská matica. Ak sa konjugovaná transpozícia rovná záporu matice, ide o zošikmenú hermitovskú maticu. A ak sa inverzia matice rovná komplexnému konjugátu, matica je unitárna.
Podobne všetky špeciálne konjugované matice komplexne majú špeciálne vlastnosti, ktoré sa dajú použiť na jednoduchú matematickú manipuláciu. Konjugovaná transpozícia je široko používaná v kvantovej mechanike a jej príslušných odboroch.
Aký je rozdiel medzi transponovaním a konjugovanou transpozíciou?
• Transpozícia matice sa získa preusporiadaním stĺpcov do riadkov alebo riadkov do stĺpcov. Komplexný konjugát matice sa získa nahradením každého prvku jeho komplexným konjugátom (t.j. x+iy ⇛ x-iy alebo naopak). Konjugovaná transpozícia sa získa vykonaním oboch operácií na matici.
• Konjugovaná transpozícia je teda len transpozičná matica s jej komplexnými konjugátmi ako prvkami.
