Obdĺžnik vs kosoštvorec
Kosoštvorec a obdĺžnik sú štvoruholníky. Geometria týchto obrazcov bola ľudstvu známa už tisíce rokov. Táto téma je výslovne spracovaná v knihe „Elements“, ktorú napísal grécky matematik Euclid.
Paralelogram
Paralelogram možno definovať ako geometrický útvar so štyrmi stranami, pričom protiľahlé strany sú navzájom rovnobežné. Presnejšie ide o štvoruholník s dvoma pármi rovnobežných strán. Táto paralelná povaha dáva mnoho geometrických charakteristík rovnobežníkom.
Štvoruholník je rovnobežník, ak sa nájdu nasledujúce geometrické charakteristiky.
• Dva páry protiľahlých strán majú rovnakú dĺžku. (AB=DC, AD=BC)
• Dva páry protiľahlých uhlov majú rovnakú veľkosť. ([latex]D\klobúk{A}B=B\klobúk{C}D, A\klobúk{D}C=A\klobúk{B}C[/latex])
• Ak sú susedné uhly doplnkové [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\klobúk{B}C=A\klobúk{B}C + D\klobúk{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Dvojica strán, ktoré sú proti sebe, je rovnobežná a má rovnakú dĺžku. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonály sa navzájom pretínajú (AO=OC, BO=OD)
• Každá uhlopriečka rozdeľuje štvoruholník na dva zhodné trojuholníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Súčet druhých mocnín strán sa navyše rovná súčtu druhých mocnín uhlopriečok. Toto sa niekedy označuje ako paralelogramový zákon a má široké uplatnenie vo fyzike a inžinierstve. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Každá z vyššie uvedených charakteristík môže byť použitá ako vlastnosti, keď sa zistí, že štvoruholník je rovnobežník.
Oblasť rovnobežníka možno vypočítať ako súčin dĺžky jednej strany a výšky na opačnej strane. Preto môže byť plocha rovnobežníka uvedená ako
Oblasť rovnobežníka=základňa × výška=AB × h
Oblasť rovnobežníka je nezávislá od tvaru jednotlivého rovnobežníka. Závisí len od dĺžky základne a kolmej výšky.
Ak strany rovnobežníka možno znázorniť dvoma vektormi, plochu možno získať veľkosťou vektorového súčinu (krížový súčin) dvoch susedných vektorov.
Ak sú strany AB a AD reprezentované vektormi ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) a ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), plocha rovnobežník je daný ako [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kde α je uhol medzi [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Nasledujú niektoré pokročilé vlastnosti rovnobežníka;
• Plocha rovnobežníka je dvojnásobkom plochy trojuholníka vytvoreného niektorou z jeho uhlopriečok.
• Plocha rovnobežníka je rozdelená na polovicu ľubovoľnou čiarou prechádzajúcou stredom.
• Akákoľvek nedegenerovaná afinná transformácia prenesie rovnobežník do iného rovnobežníka
• Rovnobežník má rotačnú symetriu rádu 2
• Súčet vzdialeností od akéhokoľvek vnútorného bodu rovnobežníka k stranám nezávisí od umiestnenia bodu
Rectangle
Štvoruholník so štyrmi pravými uhlami je známy ako obdĺžnik. Ide o špeciálny prípad rovnobežníka, kde uhly medzi akýmikoľvek dvoma susednými stranami sú pravé.
Okrem všetkých vlastností rovnobežníka možno pri zvažovaní geometrie obdĺžnika rozpoznať aj ďalšie charakteristiky.
• Každý uhol vo vrcholoch je pravý.
• Uhlopriečky majú rovnakú dĺžku a navzájom sa pretínajú. Preto majú rozpolené časti tiež rovnakú dĺžku.
• Dĺžka uhlopriečok sa dá vypočítať pomocou Pythagorovej vety:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Vzorec plochy sa zmenší na súčin dĺžky a šírky.
Oblasť obdĺžnika=dĺžka × šírka
• Mnoho symetrických vlastností sa nachádza na obdĺžniku, ako napríklad;
– Obdĺžnik je cyklický, pričom všetky vrcholy môžu byť umiestnené na obvode kruhu.
– Je to rovnouholníkové, kde sú všetky uhly rovnaké.
– Je izogonálny, kde všetky rohy ležia na rovnakej symetrickej dráhe.
– Má odrazovú symetriu aj rotačnú symetriu.
Rombus
Štvoruholník so všetkými stranami rovnako dlhými je známy ako kosoštvorec. Je pomenovaný aj ako rovnostranný štvoruholník. Má sa za to, že má tvar diamantu, podobný tomu na hracích kartách.
Košoštvorec je tiež špeciálny prípad rovnobežníka. Možno ho považovať za rovnobežník so všetkými štyrmi stranami rovnakými. A okrem vlastností rovnobežníka má aj nasledujúce špeciálne vlastnosti.
• Diagonály kosoštvorca sa navzájom pretínajú v pravom uhle; uhlopriečky sú kolmé.
• Uhlopriečky rozdeľujú dva protiľahlé vnútorné uhly.
• Aspoň dve zo susedných strán majú rovnakú dĺžku.
Oblasť kosoštvorca možno vypočítať rovnakou metódou ako rovnobežník.
Aký je rozdiel medzi kosoštvorcom a obdĺžnikom?
• Kosoštvorec a obdĺžnik sú štvoruholníky. Obdĺžnik a kosoštvorec sú špeciálne prípady rovnobežníkov.
• Plochu ľubovoľného možno vypočítať pomocou vzorca základ ×výška.
• Vzhľadom na uhlopriečky;
– Uhlopriečky kosoštvorca sa navzájom pretínajú v pravom uhle a vytvorené trojuholníky sú rovnostranné.
– Uhlopriečky obdĺžnika majú rovnakú dĺžku a navzájom sa pretínajú; rozpolené časti majú rovnakú dĺžku. Uhlopriečky rozdeľujú obdĺžnik na dva zhodné pravouhlé trojuholníky.
• Vzhľadom na vnútorné uhly;
– Vnútorné uhly kosoštvorca sú rozpolené uhlopriečkami
– Všetky štyri vnútorné uhly obdĺžnika sú pravé.
• Vzhľadom na strany;
– Keďže všetky štyri strany sú v kosoštvorci rovnaké, štvornásobok druhej mocniny strany sa rovná súčtu štvorcov uhlopriečky (pomocou zákona o rovnobežnosti)
– V obdĺžnikoch sa súčet štvorcov dvoch susedných strán rovná štvorcu uhlopriečky na koncoch. (Pythagorovo pravidlo)
