Rozdiel medzi aritmetickým a geometrickým radom

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 13:49

Aritmetický vs geometrický rad

Matematická definícia radu úzko súvisí s postupnosťami. Postupnosť je usporiadaná množina čísel a môže to byť buď konečná alebo nekonečná množina. Postupnosť čísel, pričom rozdiel medzi dvoma prvkami je konštantný, sa nazýva aritmetická progresia. Postupnosť s konštantným podielom dvoch po sebe idúcich čísel je známa ako geometrická progresia. Tieto postupnosti môžu byť buď konečné alebo nekonečné, a ak sú konečné, počet členov je spočítateľný, inak nespočítateľný.

Vo všeobecnosti možno súčet prvkov v postupnosti definovať ako sériu. Súčet aritmetickej progresie je známy ako aritmetický rad. Podobne súčet geometrickej progresie je známy ako geometrický rad.

Viac o aritmetickej sérii

V aritmetickom rade majú po sebe nasledujúce členy konštantný rozdiel.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; kde a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d atď.}

Tento rozdiel d je známy ako bežný rozdiel a výraz n^th je daný výrazom a_n =a ₁+ (n-1)d; kde a_{1 je prvý výraz.}

Správanie série sa mení na základe spoločného rozdielu d. Ak je spoločný rozdiel kladný, progresia má tendenciu byť kladné nekonečno, a ak je spoločný rozdiel záporný, smeruje k zápornému nekonečnu.

Súčet série možno získať pomocou nasledujúceho jednoduchého vzorca, ktorý ako prvý vyvinul indický astronóm a matematik Aryabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

Súčet S_{n môže byť konečný alebo nekonečný v závislosti od počtu členov.}

Viac o Geometric Series

Geometrická séria je séria s konštantným podielom po sebe nasledujúcich čísel. Je to dôležitá séria zistená pri štúdiu série kvôli vlastnostiam, ktoré má.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Na základe pomeru r možno správanie série kategorizovať nasledovne. r={|r|≥1 rad diverguje; r≤1 rad konverguje}. Tiež, ak r<0 séria osciluje, t. j. séria má striedavé hodnoty.

Súčet geometrických radov možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca. S_n =a(1-r) / (1-r); kde a je počiatočný člen a r je pomer. Ak je pomer r≤1, rad konverguje. Pre nekonečný rad je hodnota konvergencie daná vzťahom S_{n=a / (1-r).}

Geometrický rad má množstvo aplikácií v oblasti fyzikálnych vied, inžinierstva a ekonómie

Aký je rozdiel medzi aritmetickým a geometrickým radom?

• Aritmetický rad je rad s konštantným rozdielom medzi dvoma susednými členmi.

• Geometrický rad je rad s konštantným podielom medzi dvoma po sebe nasledujúcimi členmi.

• Všetky nekonečné aritmetické rady sú vždy divergentné, ale v závislosti od pomeru môžu byť geometrické rady konvergentné alebo divergentné.

• Geometrický rad môže mať osciláciu hodnôt; to znamená, že čísla striedavo menia svoje znamienka, ale aritmetický rad nemôže mať oscilácie.