Diskrétna funkcia vs nepretržitá funkcia
Funkcie sú jednou z najdôležitejších tried matematických objektov, ktoré sa vo veľkej miere využívajú takmer vo všetkých podoblastiach matematiky. Ako naznačuje ich názov, diskrétne funkcie aj spojité funkcie sú dva špeciálne typy funkcií.
Funkcia je vzťah medzi dvoma množinami definovaných tak, že pre každý prvok v prvej množine je hodnota, ktorá mu zodpovedá v druhej množine, jedinečná. Nech f je funkcia definovaná z množiny A do množiny B. Potom pre každé x ϵ A symbol f (x) označuje jedinečnú hodnotu v množine B, ktorá zodpovedá x. Nazýva sa to obraz x pod f. Preto relácia f z A do B je funkciou práve vtedy, ak pre každé xϵ A a y ϵ A; ak x=y, potom f (x)=f (y). Množina A sa nazýva definičný obor funkcie f a je to množina, v ktorej je funkcia definovaná.
Uvažujme napríklad vzťah f z R do R definovaný ako f (x)=x + 2 pre každé xϵ A. Ide o funkciu, ktorej doménou je R, keďže pre každé reálne číslo x a y, x=y znamená f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Ale vzťah g z N do N definovaný ako g (x)=a, kde 'a' je prvočíslo x nie je funkciou ako g (6)=3, rovnako ako g (6)=2.
Čo je to diskrétna funkcia?
Diskrétna funkcia je funkcia, ktorej doména je nanajvýš spočítateľná. Jednoducho to znamená, že je možné vytvoriť zoznam, ktorý obsahuje všetky prvky domény.
Akákoľvek konečná množina je nanajvýš spočítateľná. Množina prirodzených čísel a množina racionálnych čísel sú príklady nanajvýš spočítateľných nekonečných množín. Množina reálnych čísel a množina iracionálnych čísel nie sú nanajvýš spočítateľné. Obe sady sú nespočetné. Znamená to, že nie je možné vytvoriť zoznam, ktorý by obsahoval všetky prvky týchto súborov.
Jednou z najbežnejších diskrétnych funkcií je faktoriálna funkcia. f:N U{0}→N rekurzívne definované pomocou f (n)=n f (n-1) pre každé n ≥ 1 a f (0)=1 sa nazýva faktoriálna funkcia. Všimnite si, že jeho doména N U{0} je nanajvýš spočítateľná.
Čo je spojitá funkcia?
Nech f je taká funkcia, že pre každé k v obore f platí f (x)→ f (k) ako x → k. Potom f je spojitá funkcia. To znamená, že je možné urobiť f (x) ľubovoľne blízko k f (k) tak, že x urobíme dostatočne blízko k k pre každé k v obore f.
Uvažujme funkciu f (x)=x + 2 na R. Môžeme vidieť, že ako x → k, x + 2 → k + 2 je f (x) → f (k). Preto je f spojitá funkcia. Teraz uvažujme g na kladných reálnych číslach g (x)=1, ak x > 0 a g (x)=0, ak x=0. Potom táto funkcia nie je spojitá, pretože limita g (x) neexistuje (a teda sa nerovná g (0)) ako x → 0.
Aký je rozdiel medzi diskrétnou a spojitou funkciou?
• Diskrétna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je nanajvýš spočítateľný, ale nemusí to tak byť v spojitých funkciách.
• Všetky spojité funkcie ƒ majú vlastnosť, že ƒ(x)→ƒ(k) ako x → k pre každé x a pre každé k v obore ƒ, ale nie je to tak v prípade niektorých diskrétnych funkcií.
