Vzťah verzus funkcia
Od stredoškolskej matematiky sa funkcia stáva bežným pojmom. Aj keď sa používa pomerne často, používa sa bez správneho pochopenia jeho definície a interpretácií. Tento článok sa zameriava na popis týchto aspektov funkcie.
Relation
Vzťah je spojenie medzi prvkami dvoch množín. Vo formálnejšom prostredí ho možno opísať ako podmnožinu karteziánskeho súčinu dvoch množín X a Y. Kartézsky súčin X a Y, označovaný ako X×Y, je množina usporiadaných párov pozostávajúcich z prvkov z dvoch množín, často označované ako (x, y). Sady sa nemusia líšiť. Napríklad podmnožina prvkov z A×A sa nazýva vzťah na A.
Funkcia
Funkcie sú špeciálnym typom vzťahov. Tento špeciálny typ vzťahu popisuje, ako je jeden prvok mapovaný na iný prvok v inej množine alebo tej istej množine. Aby bol vzťah funkciou, musia byť splnené dve špecifické požiadavky.
Každý prvok množiny, kde každé mapovanie začína, musí mať priradený/prepojený prvok v druhej množine.
Prvky v množine, kde mapovanie začína, možno priradiť/prepojiť iba s jedným a iba jedným prvkom v druhej množine
Množina, z ktorej je vzťah mapovaný, sa nazýva doména. Množina, do ktorej je vzťah mapovaný, je známa ako Codomain. Podmnožina prvkov v kodoméne, ktorá obsahuje iba prvky spojené so vzťahom, sa nazýva rozsah.
Technicky je funkcia vzťahom medzi dvoma množinami, kde každý prvok v jednej množine je jedinečne mapovaný na prvok v druhej.
Všimnite si nasledujúce
- Každý prvok v doméne je namapovaný do kódovej domény.
- Niekoľko prvkov domény je spojených s rovnakou hodnotou v kodéne, ale jeden prvok z domény nemôže byť pripojený k viac ako jednému prvku v kodéne. (Mapovanie musí byť jedinečné)
- Ak je každý jednotlivý prvok domény namapovaný na odlišné a jedinečné prvky v kódovej doméne, funkcia sa považuje za funkciu „jedna k jednej“.
Kódoména obsahuje iný prvok ako tie, ktoré sú spojené s prvkami domény. Rozsah nemusí byť kódová doména. Ak sa kódová doména rovná rozsahu, funkcia je známa ako funkcia „onto“
Keď sú hodnoty, ktoré môže funkcia nadobudnúť, skutočné, nazýva sa to reálna funkcia. Prvky kódovej domény a domény sú reálne čísla.
Funkcie sú vždy označené pomocou premenných. Prvky kodomény sú symbolicky reprezentované premennou. Označenie f(x) predstavuje prvky rozsahu. Vzťah možno znázorniť pomocou výrazu v tvare f(x)=x^2. Hovorí, že prvok domény je mapovaný do štvorca prvku v rámci kodomény.
Aký je rozdiel medzi funkciou a vzťahom?
• Funkcie sú špeciálnym typom vzťahov.
• Vzťah je založený na karteziánskom súčine dvoch množín.
• Funkcia je založená na vzťahoch s konkrétnymi vlastnosťami.
• Doména funkcie musí byť namapovaná do kódovej domény tak, aby každý prvok mal v kódovej doméne jednoznačne určenú zodpovedajúcu hodnotu. Vzťah môže spájať jeden prvok s viacerými hodnotami.
