Paralelogram vs kosoštvorec
Paralelogram a kosoštvorec sú štvoruholníky. Geometria týchto obrazcov bola ľudstvu známa už tisíce rokov. Táto téma je výslovne spracovaná v knihe „Elements“, ktorú napísal grécky matematik Euclid.
Paralelogram
Paralelogram možno definovať ako geometrický útvar so štyrmi stranami, pričom protiľahlé strany sú navzájom rovnobežné. Presnejšie ide o štvoruholník s dvoma pármi rovnobežných strán. Táto paralelná povaha dáva mnoho geometrických charakteristík rovnobežníkom.
Štvoruholník je rovnobežník, ak sa nájdu nasledujúce geometrické charakteristiky.
• Dva páry protiľahlých strán majú rovnakú dĺžku. (AB=DC, AD=BC)
• Dva páry protiľahlých uhlov majú rovnakú veľkosť. ([latex]D\klobúk{A}B=B\klobúk{C}D, A\klobúk{D}C=A\klobúk{B}C[/latex])
• Ak sú susedné uhly doplnkové [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\klobúk{B}C=A\klobúk{B}C + D\klobúk{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Dvojica strán, ktoré sú proti sebe, je rovnobežná a má rovnakú dĺžku. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonály sa navzájom pretínajú (AO=OC, BO=OD)
• Každá uhlopriečka rozdeľuje štvoruholník na dva zhodné trojuholníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Súčet druhých mocnín strán sa navyše rovná súčtu druhých mocnín uhlopriečok. Toto sa niekedy označuje ako paralelogramový zákon a má široké uplatnenie vo fyzike a inžinierstve. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Každá z vyššie uvedených charakteristík môže byť použitá ako vlastnosti, keď sa zistí, že štvoruholník je rovnobežník.
Oblasť rovnobežníka možno vypočítať ako súčin dĺžky jednej strany a výšky na opačnej strane. Preto môže byť plocha rovnobežníka uvedená ako
Oblasť rovnobežníka=základňa × výška=AB × h
Oblasť rovnobežníka je nezávislá od tvaru jednotlivého rovnobežníka. Závisí len od dĺžky základne a kolmej výšky.
Ak strany rovnobežníka možno znázorniť dvoma vektormi, plochu možno získať veľkosťou vektorového súčinu (krížový súčin) dvoch susedných vektorov.
Ak sú strany AB a AD reprezentované vektormi ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) a ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), plocha rovnobežník je daný ako [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kde α je uhol medzi [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Nasledujú niektoré pokročilé vlastnosti rovnobežníka;
• Plocha rovnobežníka je dvojnásobkom plochy trojuholníka vytvoreného niektorou z jeho uhlopriečok.
• Plocha rovnobežníka je rozdelená na polovicu ľubovoľnou čiarou prechádzajúcou stredom.
• Akákoľvek nedegenerovaná afinná transformácia prenesie rovnobežník do iného rovnobežníka
• Rovnobežník má rotačnú symetriu rádu 2
• Súčet vzdialeností od akéhokoľvek vnútorného bodu rovnobežníka k stranám nezávisí od umiestnenia bodu
Rombus
Štvoruholník so všetkými stranami rovnako dlhými je známy ako kosoštvorec. Je pomenovaný aj ako rovnostranný štvoruholník. Má sa za to, že má tvar diamantu, podobný tomu na hracích kartách.
Košoštvorec je tiež špeciálny prípad rovnobežníka. Možno ho považovať za rovnobežník so všetkými štyrmi stranami rovnakými. A okrem vlastností rovnobežníka má aj nasledujúce špeciálne vlastnosti.
• Diagonály kosoštvorca sa navzájom pretínajú v pravom uhle; uhlopriečky sú kolmé.
• Uhlopriečky rozdeľujú dva protiľahlé vnútorné uhly.
• Aspoň dve zo susedných strán majú rovnakú dĺžku.
Oblasť kosoštvorca možno vypočítať rovnakou metódou ako rovnobežník.
Aký je rozdiel medzi paralelogramom a kosoštvorcom?
• Rovnobežník a kosoštvorec sú štvoruholníky. Kosoštvorec je špeciálny prípad rovnobežníkov.
• Plochu ľubovoľného možno vypočítať pomocou vzorca základ ×výška.
• Vzhľadom na uhlopriečky;
– Uhlopriečky rovnobežníka sa navzájom pretínajú a rozdeľujú rovnobežník tak, aby vytvorili dva zhodné trojuholníky.
– Uhlopriečky kosoštvorca sa navzájom pretínajú v pravom uhle a vytvorené trojuholníky sú rovnostranné.
• Vzhľadom na vnútorné uhly;
– Protiľahlé vnútorné uhly rovnobežníka majú rovnakú veľkosť. Dva susediace vnútorné uhly sú doplnkové.
– Vnútorné uhly kosoštvorca sú rozpolené uhlopriečkami.
• Vzhľadom na strany;
– V rovnobežníku sa súčet štvorcov strán rovná súčtu štvorcov uhlopriečky (zákon rovnobežníka).
– Keďže všetky štyri strany sú v kosoštvorci rovnaké, štvornásobok druhej mocniny strany sa rovná súčtu štvorcov uhlopriečky.
