Paralelogram vs lichobežník
Paralelogram a lichobežník (alebo lichobežník) sú dva konvexné štvoruholníky. Aj keď ide o štvoruholníky, geometria lichobežníka sa výrazne líši od rovnobežníkov.
Paralelogram
Paralelogram možno definovať ako geometrický útvar so štyrmi stranami, pričom protiľahlé strany sú navzájom rovnobežné. Presnejšie ide o štvoruholník s dvoma pármi rovnobežných strán. Táto paralelná povaha dáva mnoho geometrických charakteristík rovnobežníkom.
Štvoruholník je rovnobežník, ak sa nájdu nasledujúce geometrické charakteristiky.
• Dva páry protiľahlých strán majú rovnakú dĺžku. (AB=DC, AD=BC)
• Dva páry protiľahlých uhlov majú rovnakú veľkosť. ([latex]D\klobúk{A}B=B\klobúk{C}D, A\klobúk{D}C=A\klobúk{B}C[/latex])
• Ak sú susedné uhly doplnkové [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\klobúk{B}C=A\klobúk{B}C + D\klobúk{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Dvojica strán, ktoré sú proti sebe, je rovnobežná a má rovnakú dĺžku. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonály sa navzájom pretínajú (AO=OC, BO=OD)
• Každá uhlopriečka rozdeľuje štvoruholník na dva zhodné trojuholníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Súčet druhých mocnín strán sa navyše rovná súčtu druhých mocnín uhlopriečok. Toto sa niekedy označuje ako paralelogramový zákon a má široké uplatnenie vo fyzike a inžinierstve. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Každá z vyššie uvedených charakteristík môže byť použitá ako vlastnosti, keď sa zistí, že štvoruholník je rovnobežník.
Oblasť rovnobežníka možno vypočítať ako súčin dĺžky jednej strany a výšky na opačnej strane. Preto môže byť plocha rovnobežníka uvedená ako
Oblasť rovnobežníka=základňa × výška=AB × h
Oblasť rovnobežníka je nezávislá od tvaru jednotlivého rovnobežníka. Závisí len od dĺžky základne a kolmej výšky.
Ak strany rovnobežníka možno znázorniť dvoma vektormi, plochu možno získať veľkosťou vektorového súčinu (krížový súčin) dvoch susedných vektorov.
Ak sú strany AB a AD reprezentované vektormi ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) a ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), plocha rovnobežník je daný ako [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kde α je uhol medzi [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Nasledujú niektoré pokročilé vlastnosti rovnobežníka;
• Plocha rovnobežníka je dvojnásobkom plochy trojuholníka vytvoreného niektorou z jeho uhlopriečok.
• Plocha rovnobežníka je rozdelená na polovicu ľubovoľnou čiarou prechádzajúcou stredom.
• Akákoľvek nedegenerovaná afinná transformácia prenesie rovnobežník do iného rovnobežníka
• Rovnobežník má rotačnú symetriu rádu 2
• Súčet vzdialeností od akéhokoľvek vnútorného bodu rovnobežníka k stranám nezávisí od umiestnenia bodu
Lichobežník
Lichobežník (alebo lichobežník v britskej angličtine) je konvexný štvoruholník, kde sú aspoň dve strany rovnobežné a nerovnakej dĺžky. Rovnobežné strany lichobežníka sú známe ako základne a ďalšie dve strany sa nazývajú nohy.
Nasledujú hlavné charakteristiky lichobežníkov;
• Ak susedné uhly nie sú na rovnakej základni lichobežníka, ide o doplnkové uhly. t.j. ich súčet je 180° ([latex]B\klobúk{A}D+A\klobúk{D}C=A\klobúk{B}C+B\klobúk{C}D=180^{circ}[/latex])
• Obe uhlopriečky lichobežníka sa pretínajú v rovnakom pomere (pomer medzi sekciami uhlopriečok je rovnaký).
• Ak a a b sú základne a c, d sú nohy, dĺžky uhlopriečok sú dané
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
a
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
Plochu lichobežníka možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca
Oblasť lichobežníka=[latex]\frac{a+b}{2}\krát h[/latex]
Aký je rozdiel medzi paralelogramom a lichobežníkom (lichobežníkom)?
• Rovnobežník aj lichobežník sú konvexné štvoruholníky.
• V rovnobežníku sú oba páry protiľahlých strán rovnobežné, zatiaľ čo v lichobežníku je rovnobežný iba pár.
• Uhlopriečky rovnobežníka sa navzájom pretínajú (pomer 1:1), zatiaľ čo uhlopriečky lichobežníka sa pretínajú s konštantným pomerom medzi rezmi.
• Plocha rovnobežníka závisí od výšky a základne, zatiaľ čo plocha lichobežníka závisí od výšky a stredného segmentu.
• Dva trojuholníky tvorené uhlopriečkou v rovnobežníku sú vždy zhodné, zatiaľ čo trojuholníky lichobežníka môžu byť zhodné alebo nie.
