Rozdiel medzi aritmetickou postupnosťou a geometrickou postupnosťou

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-17 23:45

Aritmetická postupnosť verzus geometrická postupnosť

Štúdium vzorcov čísel a ich správania je dôležitou štúdiou v oblasti matematiky. Tieto vzorce možno často vidieť v prírode a pomáhajú nám vysvetliť ich správanie z vedeckého hľadiska. Aritmetické postupnosti a geometrické postupnosti sú dva zo základných vzorov, ktoré sa vyskytujú v číslach a často sa vyskytujú v prírodných javoch.

Sekvencia je množina usporiadaných čísel. Počet prvkov v sekvencii môže byť konečný alebo nekonečný.

Viac o aritmetickej postupnosti (aritmetrická postupnosť)

Aritmetická postupnosť je definovaná ako postupnosť čísel s konštantným rozdielom medzi každým po sebe idúcim výrazom. Je tiež známa ako aritmetická progresia.

Aritmetická postupnosť ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; kde a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d atď.}

Ak je počiatočný člen a₁ a spoločný rozdiel je d, potom n^{th člen postupnosti je daný výrazom;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Rozšírením vyššie uvedeného výsledku môže byť n^{th výraz uvedený aj ako;}

a_n =a_m + (n-m)d, kde a_{m je náhodný výraz v takom poradí, že n > m.}

Množina párnych čísel a množina nepárnych čísel sú najjednoduchšie príklady aritmetických postupností, kde každá postupnosť má spoločný rozdiel (d) 2.

Počet členov v sekvencii môže byť nekonečný alebo konečný. V nekonečnom prípade (n → ∞) má postupnosť tendenciu k nekonečnu v závislosti od spoločného rozdielu (a_{n → ±∞). Ak je spoločný rozdiel kladný (d > 0), postupnosť smeruje k kladnému nekonečnu a ak je spoločný rozdiel záporný (d < 0), smeruje k zápornému nekonečnu. Ak sú členy konečné, postupnosť je tiež konečná.}

Súčet členov v aritmetickej postupnosti je známy ako aritmetický rad: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{a S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] udáva hodnotu séria (S}n)

Viac o geometrickej postupnosti (Geometric Progression)

Geometrická postupnosť je definovaná ako postupnosť, v ktorej je podiel akýchkoľvek dvoch po sebe nasledujúcich členov konštantný. Toto je tiež známe ako geometrická progresia.

Geometrická postupnosť ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; kde a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r a tak ďalej, kde r je reálne číslo.}

Je jednoduchšie znázorniť geometrickú postupnosť pomocou spoločného pomeru (r) a počiatočného člena (a). Preto geometrická postupnosť ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Všeobecný tvar n^th výrazov daný a_n =a₁r ^n-1. (Strata dolného indexu počiatočného výrazu ⇒ a_n =ar^n-1)

Geometrická postupnosť môže byť aj konečná alebo nekonečná. Ak je počet členov konečný, postupnosť sa považuje za konečnú. A ak sú členy nekonečné, postupnosť môže byť nekonečná alebo konečná v závislosti od pomeru r. Spoločný pomer ovplyvňuje mnohé vlastnosti v geometrických postupnostiach.

r > o	0 < r < +1	Sekvencia konverguje – exponenciálny rozpad, t.j. an → 0, n → ∞
	r=1	Konštantná postupnosť, t.j. an=konštanta
	r > 1	Sekvencia sa rozchádza – exponenciálny rast, t.j. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekvencia osciluje, ale konverguje
	r=1	Sekvencia je striedavá a konštantná, t.j. an=±konštantný
	r < -1	Sekvencia sa strieda a rozchádza sa. napr. an → ±∞, n → ∞
r=0	Sekvencia je reťazec núl

N. B: Vo všetkých vyššie uvedených prípadoch a₁ > 0; ak a₁ < 0, znaky súvisiace s a_{n budú obrátené.}

Časový interval medzi odrazmi lopty sa v ideálnom modeli riadi geometrickou postupnosťou a je to konvergentná postupnosť.

Súčet členov geometrickej postupnosti je známy ako geometrický rad; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Súčet geometrického radu možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); kde a je počiatočný člen a r je pomer.}

Ak je pomer r ≤ 1, rad konverguje. Pre nekonečný rad je hodnota konvergencie daná vzťahom S_n=a/(1-r)

Aký je rozdiel medzi aritmetickou a geometrickou postupnosťou/progresiou?

• V aritmetickej postupnosti majú akékoľvek dva po sebe idúce členy spoločný rozdiel (d), zatiaľ čo v geometrickej postupnosti majú akékoľvek dva po sebe nasledujúce členy konštantný podiel (r).

• V aritmetickej postupnosti je variácia členov lineárna, t. j. možno nakresliť priamku prechádzajúcu všetkými bodmi. V geometrickom rade je variácia exponenciálna; buď rastie alebo upadá na základe spoločného pomeru.

• Všetky nekonečné aritmetické postupnosti sú divergentné, zatiaľ čo nekonečné geometrické rady môžu byť divergentné alebo konvergentné.

• Geometrický rad môže vykazovať osciláciu, ak je pomer r záporný, zatiaľ čo aritmetický rad osciláciu nezobrazuje