Rozdiel medzi logaritmickým a exponenciálnym

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 13:49

Logaritmické vs exponenciálne | Exponenciálna funkcia vs logaritmická funkcia

Funkcie sú jednou z najdôležitejších tried matematických objektov, ktoré sa vo veľkej miere využívajú takmer vo všetkých podpoliach matematiky. Ako naznačuje ich názov, exponenciálna funkcia aj logaritmická funkcia sú dve špeciálne funkcie.

Funkcia je vzťah medzi dvoma množinami definovaných tak, že pre každý prvok v prvej množine je hodnota, ktorá mu zodpovedá v druhej množine, jedinečná. Nech ƒ je funkcia definovaná z množiny A do množiny B. Potom pre každé x ϵ A symbol ƒ(x) označuje jedinečnú hodnotu v množine B, ktorá zodpovedá x. Nazýva sa to obraz x pod ƒ. Preto vzťah ƒ z A do B je funkciou vtedy a len vtedy, ak pre každé x ϵ A a y ϵ A, ak x=y, potom ƒ(x)=ƒ(y). Množina A sa nazýva definičný obor funkcie ƒ a je to množina, v ktorej je funkcia definovaná.

Čo je exponenciálna funkcia?

Exponenciálna funkcia je funkcia daná vzťahom ƒ(x)=e^x, kde e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) a je transcendentálnym iracionálnym číslom. Jednou zo špecialít funkcie je, že derivácia funkcie je rovná sama sebe; t.j. keď y=e^x, dy/dx=e^x Funkcia je tiež všade spojitá rastúca funkcia, ktorá má os x ako asymptotu. Preto je aj funkcia jedna k jednej. Pre každé x ϵ R máme, že e^x> 0 a môže byť preukázané, že je na R ⁺ Tiež sa riadi základnou identitou e^x+y=e^xe^y a e⁰ =1. Funkciu je možné znázorniť aj pomocou rozšírenia radu daného ako 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + … + x^{/n! + …}

Čo je logaritmická funkcia?

Logaritmická funkcia je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie. Keďže exponenciálna funkcia je jedna ku jednej a na R ⁺, funkciu g možno definovať z množiny kladných reálnych čísel do množiny reálnych čísel danej g(y)=x, práve vtedy, ak y=e^x Táto funkcia g sa nazýva logaritmická funkcia alebo najčastejšie ako prirodzený logaritmus. Označuje sa g(x)=log e^{x=ln x. Keďže ide o inverziu exponenciálnej funkcie, ak vezmeme odraz grafu exponenciálnej funkcie cez priamku y=x, získame graf logaritmickej funkcie. Funkcia je teda asymptotická vzhľadom na os y.}

Logaritmická funkcia sa riadi niekoľkými základnými pravidlami, z ktorých najdôležitejšie sú ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y a ln xy=y ln x. Toto je tiež rastúca funkcia a je všade nepretržitá. Preto je tiež individuálny. Dá sa ukázať, že je na R.

Aký je rozdiel medzi exponenciálnou funkciou a logaritmickou funkciou?

• Exponenciálna funkcia je daná ako ƒ(x)=e^{x, zatiaľ čo logaritmická funkcia je daná ako g(x)=ln x a prvá je inverzná k posledne.}

• Definičný obor exponenciálnej funkcie je množina reálnych čísel, ale definičný obor logaritmickej funkcie je množina kladných reálnych čísel.

• Rozsah exponenciálnej funkcie je množina kladných reálnych čísel, ale rozsah logaritmickej funkcie je množina reálnych čísel.